70. Теорема Цермело
Наиболее важным следствием аксиомы выбора является теорема Цермело о полном упорядочении:
Каждое множество может быть вполне упорядочено.
Цермело дал два доказательства этой теоремы. Первое из них было упрощено 
Кнезером и состоит в следующем.
Пусть 
некоторое множество. Каждое собственное подмножество 
имеет непустое дополнение 
В силу аксиомы выбора существует функция 
которая каждому собственному подмножеству 
сопоставляет некоторый элемент из 
Под 
-цепью мы понимаем теперь любое подмножество 
вполне упорядоченное таким образом, что для каждого у из К имеет место соотношение
где 
— отрезок множества К, состоящий из тех х, которые предшествуют элементу у во вполне упорядоченном множестве К.
Теперь нужно воспользоваться теми же рассуждениями, которые применялись в § 69 при доказательстве основной леммы, но вместо 
-цепей нужно брать 
-цепи. Итак, возьмем объединение V всех 
-цепей и заметим, что множество V вполне упорядочено, множество V является 
-цепью и если к V добавить еще один элемент 
то полученное множество 
не будет 
-цепью.
Если 
то в множестве 
можно взять отмеченный элемент 
и рассмотреть его как последний элемент в 
Расширенное множество 
будет тогда вновь 
-цепью, что противоречит сказанному выше. Тем самым остается одна возможность: множество V совпадает со всем множеством 
Следовательно, множество 
вполне упорядочено.
Важность вполне упорядоченных множеств состоит в возможности применения метода индукции, известного нам по счетным множествам, в случае любых вполне упорядоченных множеств. Этот вопрос рассматривается в следующем параграфе.
