§ 99. Двусторонние разложения и разложение центра

В § 98 мы исследовали разложения в прямые суммы левых идеалов произвольного кольца о, подчиненного естественным требованиям; теперь мы намерены выяснить, что можно сказать о разложениях в сумму двусторонних идеалов.

Теорема 14. Если кольцо о с единицей представимо в виде прямой сумчы прямо неразложимых двусторонних идеалов, отличных от нулевого идеала:

то эти идеалы определены однозначно.

Доказательство. Если имеется какое-то второе разложение

то

Сумма справа является прямой, так как

Но так как идеал прямо неразложим, то произведения должны быть равны нулю, кроме какого-то одного, скажем, а. Таким образом,

Точно так же показывается, что и наоборот, содержится в одном из так что

отсюда следует, что Таким образом, каждый идеал совпадает с некоторым из идеалов

Для односторонних разложений в прямые суммы такая однозначность места не имеет.

Докажем теперь следующее:

Если кольцо является прямой суммой двусторонних идеалов то центр 3 кольца о является прямой суммой центров колец

Доказательство. Пусть произвольный элемент центра и произвольный элемент из . Тогда поэтому

Отсюда следует, что для всех из т. е. лежит в центре кольца Обратно: если каждый элемент лежит

в центре кольца то равенство (2) выполняется для всех так что лежит в центре кольца с.

Утверждения, которые мы рассматривали до сих пор, справедливы в произвольных кольцах с. Теперь же мы предположим, что кольцо с полупросто и удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов. В этом случае с вполне приводимо слева:

и обладает единицей:

Если а — произвольный двусторонний идеал, то каждое произведение является лежащим в левым идеалом; поэтому оно равно либо либо Идеалы можно расположить в таком порядке, чтобы выполнялись равенства

Тогда содержатся в а и поэтому в а содержится также идеал Каждый элемент а идеала а представляется в виде

В этой сумме слагаемые аетп, равны нулю, а потому она сводится к

Следовательно, и

или словами:

Каждый двусторонний идеал а является суммой некоторых идеалов

Для идеалов входящих в формулу (5), имеют место равенства

а для не входящих в формулу (5), справедливы равенства

Таким образом, идеалы входящие в формулу (5), характеризуются тем, что идеал а их не аннулирует:

Если идеал обладает этим свойством, то и все идеалы операторно изоморфные идеалу тоже им обладают: Поэтому в (5) входят все идеалы изоморфные идеалу

Пусть, скажем, идеалы изоморфны идеалу а остальные идеалы нет. Тогда утверждается:

Идеал двусторонний.

Доказательство. Для произвольного элемента имеем:

Следовательно, является правым, а потому и двусторонним идеалом.

Этим способом из каждого класса попарно изоморфных идеалов можно построить двусторонний идеал Пусть — так построенные идеалы.

Каждый двусторонний идеал а является суммой вида (5), и если эта сумма содержит какой-либо идеал то в нее должны входить и все идеалы изоморфные идеалу Отсюда следует утверждение:

Каждый двусторонний идеал является суммой некоторых из двусторонних идеалов Последние являются минимальными двусторонними идеалами. Кольцо с является прямой суммой идеалов

Последнее утверждение следует непосредственно из (3).

В силу идеалы - являются кольцами, аннулирующими друг друга:

Из (6) и (7) вытекает, что каждый левый или правый идеал кольца является также левым или правым идеалом кольца Для левых идеалов I доказательство проводится так:

а для правых идеалов — аналогично. Следовательно, каждый двусторонний идеал в явтяется двусторонним идеалом в . Однако, так как минимальный двусторонний идеал, в не существует двустороннего идеала, отличного от и от Таким образом, каждый идеал является простым кольцом с единицей Мы получили в итоге следующую теорему:

Теорема 15. Любое полупростое кольцо о с условием минимальности для левых идеалов является прямой суммой простых колец с единицей.

Для алгебр о теоремы первой половины § 96 принадлежат Веддерберну.

Исследуем теперь строение простых колец с единицей.