§ 34. Результант двух многочленов

Пусть К — произвольное поле и

— два многочлена из Найдем необходимое и достаточное условие для того, чтобы эти два многочлена имели отличный от константы общий множитель

С самого начала мы не исключаем возможность того, что или т. е. степень может в действительности быть меньше а степень меньше Если многочлен записан в указанном виде и начинается с (возможно нулевого) слагаемого то число называют формальной степенью многочлена, а формальным старшим коэффициентом. Мы будем предполагать, что по крайней мере один из старших коэффициентов отличен от нуля.

В этом предположении мы прежде всего покажем следующее: имеют общий множитель, отличный от константы, тогда и только тогда, когда имеет место равенство вида:

где имеет степень, не большую степень, не большую причем хотя бы один из многочленов не является тождественным нулем.

Действительно, если выполнено (1), то при разложении обеих частей этого равенства на простые множители слева и справа должно стоять одно и то же. Мы можем предположить, что в действительности имеет степень в противном случае мы могли бы поменять ролями Все простые множители многочлена должны быть и в правой части равенства (1), причем с тем же самым числом повторений. В один лишь многочлен все эти множители входить в тех же степенях, что не могут, потому что степень не превосходит Следовательно, некоторый простой множитель многочлена входит в что и требовалось.

Обратно, если отличный от константы общий множитель то нужно лишь положить

и получится (1).

Чтобы подробнее изучить равенство (1), положим

Раскрывая скобки в равенстве (1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа,

мы приходим к системе уравнений для коэффициентов

Это однородных линейных уравнений относительно величин От этих величин требуется, чтобы они не обращались в нуль одновременно. Условием для этого является равенство нулю определителя. Чтобы в определителе не было знака минус, мы перенесем выражения, стоящие в правых частях, налево и в качестве неизвестных рассмотрим величины Если после этого еще поменять ролями строки и столбцы определителя (транспонирование относительно главной диагонали), то получится определитель вида

(Всюду там, где ничего не написано, подразумеваются нули.)

Этот определитель называется результантом многочленов Следует отметить, что он является однородным многочленом степени по переменным и степени по переменным далее, его старший член — произведение элементов главной диагонали — равен наконец, результант равен нулю не только тогда, когда имеют общий множитель, но и тогда, когда (вопреки сделанному в начале предположению)

Суммируем все сказанное:

Результант двух многочленов является целой рациональной формой от коэффициентов вида (3). Если результант равен нулю, то либо многочлены обладают отличным от константы общим множителем, либо в обоих многочленах равен нулю старший коэффициент. Верно и обратное.

Метод исключения, которому мы здесь следовали, принадлежит Эйлеру; вид (3) результанта известен в основном благодаря исследованиям Сильвестра.

В приведенной формулировке теоремы исключительный случай можно опустить, если вместо того, чтобы говорить о двух многочленах от одной переменной, повести речь о двух однородных многочленах от двух переменных:

Исходные многочлены и числа определяют формы совершенно однозначно и наоборот. Каждому разложению на множители многочлена

соответствует разложение формы

и аналогичное верно для Тем самым каждому общему множителю многочленов соответствует общий множитель форм Обратно, каждое разложение для или для в котором мы полагаем дает разложение для или соответственно для каждый общий множитель форм дает общий множитель многочленов Но может оказаться, что некоторый общий множитель форм будет лишь чистой степенью переменной тогда соответствующий общий множитель многочленов будет константой. Случай, когда делятся на некоторую степень как раз является случаем равенств поэтому сформулированные выше два случая в теореме объединяются в единое высказывание: если результант равен нулю, то имеют отличный от константы однородный общий множитель, и наоборот.

Выведем теперь важное тождество. Пусть коэффициенты многочленов будут неизвестными. Положим

Определитель этой системы уравнений в точности равен Исключим справа для чего осуществим умножения на

миноры последнего столбца и соответствующее сложение; тогда получится тождество вида

где целочисленные многочлены от переменных

(см. скан)