§ 9. Изоморфизмы и автоморфизмы

Пусть даны два множества: и в каждом из которых определены какие-то соотношения между элементами. Например, можно считать, что группы, а соотношения в них — это расенства выражающие групповое свойство. Или же можно считать, что и упорядоченные множества, а соотношения — это неравенства

Предположим, что можно установить взаимно однозначное отображение множеств и друг на друга, при котором сохраняются соотношения; это означает, что если элементу а из взаимно однозначно соответствует элемент а из то соотношения, выполняющиеся для произвольных элементов из выполняются и для элементов и наоборот. В этом случае множества и называют изоморфными (относительно данных соотношений) и пишут Само отображение называется изоморфизмом.

Таким образом, можно говорить об изоморфных группах, изоморфных упорядоченных или подобных упорядоченных множествах и т. д. Изоморфизм двух групп — это, следовательно, взаимно однозначное отображение при котором из следует, что (и наоборот), так что произведению сопоставляется

Подобно тому как в общей теории множеств равномощные множества считаются равнозначными, так в теории групп изоморфные группы рассматриваются как несущественно различные. Все понятия и предложения, которые определяются и доказываются на основе соотношений, заданных на некотором множестве, могут быть непосредственно перенесены на любое изоморфное множество. Например, если множество, на котором определено произведение, изоморфно некоторой группе, то оно само является группой; при этом изоморфизме единица, обратные элементы и подгруппы переходят в единицу, обратные элементы и подгруппы.

Если, в частности, множества совпадают, то мы рассматриваем взаимно однозначное сопоставление элементам а элементов а того же самого множества, сохраняющее соотношения; такое сопоставление называется автоморфизмом.

Автоморфизмы множества до некоторой степени выявляют его свойства симметрии. В самом деле, что означает симметрия, скажем, геометрической фигуры? Она означает, что при известных преобразованиях (отражениях, переносах и т. д.) фигура переходит в себя, при этом заданные соотношения (расстояния, углы, взаимное расположение) сохраняются, или, на нашем языке, фигура допускает автоморфизм относительно своих метрических свойств.

Очевидно, произведение двух автоморфизмов (в смысле произведения преобразований — см. § 6) является автоморфизмом и взятие обратного преобразования по отношению к автоморфизму вновь дает автоморфизм. Отсюда следует в силу § 6, что автоморфизмы произвольного множества (с любыми соотношениями между элементами) образуют группу преобразований — так называемую группу автоморфизмов множества.

В частности, автоморфизмы группы вновь составляют группу. Некоторые из этих автоморфизмов мы рассмотрим подробнее.

Если а — фиксированный элемент группы, то сопоставление элементу х элемента

является автоморфизмом, потому что, во-первых, равенство (1) разрешимо относительно

и, следовательно, отображение взаимно однозначно, а во-вторых,

и, следовательно, отображение изоморфно.

Элемент называют элементом, полученным из х трансформированием с помощью элемента а, а сами элементы называют сопряженными в данной группе. Автоморфизмы группы, порожденные элементами а по правилу , называются внутренними. Все остальные автоморфизмы (если они существуют) называются внешними.

При внутреннем автоморфизме произвольная подгруппа переходит в подгруппу которую называют сопряженной с подгруппой

Если подгруппа совпадает со всеми своими сопряженными, т. е.

то это означает не что иное, как ее перестановочность со всеми элементами а:

или что нормальная подгруппа (§ 8). Итак,

Инвариантные относительно всех внутренних автоморфизмов подгруппы являются нормальными.

Этой теоремой объясняется использование другого названия для нормальных подгрупп — «инвариантная подгруппа». Требование (2) можно заменить на более слабое:

Но если (3) выполняется для всех а, то оно верно и для а

а из (3) и (4) следует (2). Таким образом:

Подгруппа является нормальной, если вместе с каждым элементом она содержит все сопряженные к нему элементы

(см. скан)