§ 112. Двойные модули и произведения алгебр

Уже в § 104 мы отмечали, что любое представление алгебры над полем К, содержащим основное поле определяет некоторое представление расширенной алгебры На языке модулей представлений это означает, что любой модуль, для которого область левых, область правых мультипликаторов, является также и левым -модулем. Доказать это можно так: если следовательно, то умножение слева элементов и рассматриваемого модуля на элемент из задается равенством

проверка соответствующих аксиом -модуля не составляет труда; лишь в доказательстве ассоциативности

нужна коммутативность: если, скажем, (достаточно, очевидно, рассмотреть лишь этот частный случай), то ассоциативность следует из равенств

Оба выражения равны, так как

Однако, и в том случае, когда К — тело или даже произвольное кольцо, выход из положения дает конструкция инверсного кольца К, т. е. кольца, инверсно изоморфного кольцу К. Если К — алгебра над то и К — алгебра над Если К — тело, то и К является телом.

Имеет место следующее утверждение:

Любой модуль, допускающий в качестве области левых, в качестве области правых мультипликаторов, может рассматриваться и как левый -модуль.

Доказательство такое же, как и выше. Пусть следовательно, Тогда мы можем определить

Теперь легко проверить все аксиомы. Ассоциативность следует из равенств

Тем же способом можно и, наоборот, любой левый -модуль рассматривать как левый -модуль и как правый К-модуль, пользуясь определением Поэтому изоморфные -модули дают изоморфные двойные модули, и наоборот.

Эти наблюдения имеют много приложений. Пусть К обозначает алгебру с делением, а простую алгебру с единицей над причем по крайней мере одна из алгебр или К центральна над Тогда согласно § 103 произведение простое. В силу § 105 все простые левые -модули изоморфны друг другу и простым левым идеалам в Следовательно, изоморфны все простые (левые над и правые над К) двойные модули. Мы получили предложение:

Все неприводимые представления алгебры над К эквивалентны.

Так как алгебра проста, все эти представления точные. Каждое из них отображает алгебру и на некоторое подкольцо полного матричного кольца Любые два таких представления и переводящие на и на , эквивалентны. Согласно § 87 это означает, что существует некоторая не зависящая от матрица переводящая в по правилу

Отсюда совсем легко получается

Теорема об автоморфизмах. Если и две изоморфные простые подалгебры центральной простой алгебры то любой изоморфизм между и оставляющий неподвижными элементы основного поля, определяется некоторым внутренним автоморфизмом алгебры с помощью равенства (2).

Действительно, любые две такие алгебры и всегда можно рассматривать как представления одной алгебры Если эти представления приводимы, то они распадаются на одно и то же число неприводимых представлений, потому что степени обоих рассматриваемых представлений равны одному и тому же числу Так как эти неприводимые представления эквивалентны, то и исходные представления тоже эквивалентны.

В качестве частного случая отсюда мы получаем:

Любой автоморфизм кольца оставляющий неподвижными элементы центра является внутренним.

Когда в последующем речь зайдет об изоморфизмах или автоморфизмах алгебр с единицей, всегда будет предполагаться, что зги отображения оставляют неподвижными элементы основного поля . К таковым относятся во всяком случае внутренние автоморфизмы.

Пусть опять некоторая простая алгебра и К — некоторая алгебра с делением над Одна из алгебр или К предполагается центральной. Тогда алгебра проста, а потому изоморфна полному матричному кольцу над некоторым телом А. Выясним, что можно сказать об этом теле А.

В общем случае А является кольцом правых эндоморфизмов некоторого простого -модуля, который согласно сказанному в начале может рассматриваться и как двойной модуль (левый над и правый над К). Каждый эндоморфизм Комоду взаимно однозначным образом определяет эндоморфизм упомянутого двойного модуля поэтому кольцо А изоморфно кольцу правых эндоморфизмов двойного модуля . Следовательно, инверсное тело А изоморфно кольцу левых эндоморфизмов двойного модуля Можно, конечно, отождествить А с этим кольцом левых эндоморфизмов.

Если двойной модуль рассматривается как векторное пространство над К, то элементы а кольца индуцируют линейные преобразования А этого векторного пространства:

Как мы видели, с помощью представления кольцо отображается на подкольцо 2 матричного кольца Левые эндоморфизмы модуля а потому и элементы кольца А, являются согласно § 100 линейными преобразованиями этого векторного пространства, коммутирующими с преобразованиями А:

Таким образом, кольцо А является централизатором кольца 2 в кольце т. е. кольцом тех матриц из которые перестановочны со всеми матрицами из 2.

Тем самым мы получили структурную теорему о произведениях:

Пусть простая алгебра (с единицей) и К — алгебра с делением над полем Одна из данных алгебр предполагается центральной над и через К обозначается тело, инверсно изоморфное телу К. Тогда алгебра изоморфна полному матричному кольцу А, над некоторым телом А. Единственное неприводимое представление алгебры над К точным образом переводит на

некоторое подкольцо 2 в полной матричной алгебре Централизатор А алгебры инверсно изоморфен алгебре А.

Степень представления является рангом двойного модуля над К. Если рассматривать как -модуль, то и над К его ранг будет равен Теперь можно выбрать как простой левый идеал I алгебры ранг этого левого идеала равен, таким образом,

Простое кольцо является прямой суммой таких левых идеалов; следовательно, ранг этого кольца над К равен Отсюда вытекает важное соотношение между рангами:

Формулировка структурной теоремы несколько упростится, если исходить не из а из 2 и вместо рассматривать изоморфную алгебру Таким образом, в полном матричном кольце К, выбирается подкольцо 2, о котором предполагается, что его матрицы образуют неприводимую систему. Далее, пусть К или 2 (или обе эти алгебры) — центральная алгебра над Тогда структурная теорема утверждает следующее:

Произведение изоморфно полному матричному кольцу над некоторым телом А. Централизатор А алгебры 2 в алгебре инверсно изоморфен телу А. Ранг алгебры 2 над полем равен

Предположение о том, что 2 является неприводимой системой линейных преобразований, тоже можно опустить. Так как алгебра проста, каждое матричное представление алгебры 2 над К вполне приводимо и его неприводимые составляющие эквивалентны. Следовательно, матрицы системы 2 могут при подходящем выборе базиса привестись к виду

одинаковыми клетками расположенными вдоль диагонали. Матрицы образуют неприводимую систему 2 к которой можно применить доказанную выше структурную теорему. Централизатор системы включая в себя лишь матрицы перестановочные со всеми матрицами из вновь является алгеброй инверсно изоморфной алгебре с делением Централизатор алгебры состоит из матриц

где выбираются из Следовательно,

Как легко проверить, между рангами поэлементно перестановочных колец 2 и имеет место соотношение

Из (6) легко получается, что централизатор кольца это опять-таки

Рассмотренное здесь симметричное соотношение между системами 2 и находится в тесной связи с теорией Галуа, в большой общности рассмотренной в книге: Джекобсон Строение колец, гл. VI и VII.

Обратимся теперь к приложениям основной теоремы.

1. Строение кольца Пусть К — центральная алгебра с делением над полем Тогда можно выбрать в качестве 2 само тело К и применить структурную теорему. Порядок матриц в этом случае равен 1; система 2 тривиальным образом неприводима. Централизатор А алгебры К в К является центром тела К. Следовательно, Соотношение (3) между рангами дает равенство

Мы получили, таким образом, следующий результат:

Произведение является полным матричным кольцом над основным полем Порядок соответствующих матриц равен рангу линейного пространства К над полем

2. Максимальные поля в алгебре с делением. Пусть К — произвольная алгебра с делением над полем Если К не является с самого начала центральной алгеброй над то выберем в качестве нового основного поля центр тела К. Пусть — произвольное максимальное подполе в К. Централизатором поля в теле К является само , потому что если элемент перестановочен со всеми элементами из , то тело является полем, а так как поле должно быть максимальным, элемент должен принадтежать .

В соответствии с этим следовательно, полное матричное кольцо над . Инверсное к кольцо

является, таким образом, полным матричным кольцом над , т. е. — поле разложения алгебры К. Представление алгебры полным матричным кольцом абсолютно неприводимо. В § 103 мы назвали число индексом алгебры с делением К, если оно равно степени абсолютно неприводимого матричного представления алгебры К над подходящим расширением 2 основного поля Таким образом, в данном случае Соотношение (3) между рангами дает теперь

и мы получаем следующее предложение:

Максимальные подполя алгебры с делением К, центр которой равен являются полями разложения алгебры К и их степень равна индексу данного тела.

В качестве приложения этой теоремы мы опишем теперь все алгебры с делением над полем вещественных чисел.

В этом случае коммутативными алгебрами с делением над являются лишь т. е. поля вещественных и комплексных чисел. Предположим теперь, что К — некоммутативная алгебра с делением над Если ее центр и 2 — какое-нибудь максимальное подполе в К, то

Так как К — некоммутативная алгебра, должно быть выполнено неравенство Полями и 2 могут быть лишь Так как поле 2 не равно Следовательно,

Искомая алгебра К может, следовательно, иметь ранг лишь

Автоморфизм поля переводящий согласно теореме об автоморфизмах определяется некоторым внутренним автоморфизмом тела К, т. е. существует элемент со свойством

Так как не содержится в то должно иметь место равенство следовательно, Из (7) следует, что

т. е. элемент перестановочен с элементом Так как перестановочен с элемент принадлежит центру: Если бы было , то мы имели бы и

следовательно, что невозможно. Поэтому должно иметь место неравенство т. е. Умножая на вещественное число можно добиться, чтобы было и при этом не потерять ни одного из отмеченных выше свойств элемента Для имеем:

Эти соотношения характеризуют алгебру кватернионов. Следовательно, алгебра кватернионов — единственная некоммутативная алгебра с делением над полем вещественных чисел.

Точно так же доказывается, что любая центральная алгебра с делением индекса 2 над полем рациональных чисел является алгеброй обобщенных кватернионов.

4. Описание всех конечных тел (тел с конечным числом элементов).

Если К — произвольное конечное тело, — его центр, его индекс над то каждый элемент из К обязательно содержится в каком-либо подполе 2 степени над Однако все

коммутативные расширения степени поля Галуа состоящие из элементов, попарно эквивалентны (действительно, они получаются присоединением всех корней уравнения Следовательно, все эти поля получаются трансформированием с помощью элементов из К из одного произвольно взятого среди них поля :

Если удалить из тела К нуль, то К превратится в некоторую группу — в ее подгруппу в сопряженную подгруппу и эти сопряженные подгруппы все вместе будут составлять всю группу (потому что каждый элемент из К содержится в одном из полей 2). Докажем следующую теоретико-групповую лемму:

Лемма. Собственная подгруппа конечной группы не может вместе со всеми своими сопряженными подгруппами составлять всю группу

Доказательство. Пусть порядки соответственно, и пусть индекс подгруппы так что Если принадлежат одному и тому же смежному классу т. е. то

Следовательно, различных подгрупп существует не больше, чем есть смежных классов, т. е. не больше Если бы различные подгруппы (к числу которых относится и сама группа составляли всю группу то у них не было бы общих элементов, потому что иначе нельзя было бы получить все элементов группы Но так как любые две подгруппы 1 обладают общим элементом — единицей, то они должны совпадать. Отсюда и мы получили противоречие.

Для нашего случая из этой леммы следует, что не может быть собственной подгруппой в таким образом, Следовательно, тело К коммутативно. Мы доказали теорему:

Любое тело с конечным числом элементов коммутативно, т. е. является полем.

Другое доказательство этой теоремы, принадлежащее Веддерберну, см. в работе: Витт (Witt Е.). Abh. Math. Sem. Hamburg, 1931, 8, S. 413.