§ 168. Пополнение группы с помощью фильтров Коши

В порядке подготовки к изучению сильного пополнения докажем одну лемму, которая совершенно аналогична лемме из § 166 и доказывается точно так же.

Пусть фильтр Коши. Тогда для каждой окрестности точки существует окрестность V этой же точки и множество А из такие, что

Доказательство. Выберем так, чтобы было Множество А выберем так, чтобы было

Выберем какой-нибудь фиксированный элемент у и А. Тогда принадлежат если принадлежит А. В силу (§ 163) окрестность V можно выбрать в Тогда для всех из А.

Под произведением двух фильтров и подразумевается фильтр, порожденный произведениями из В из Произведение фильтров ассоциативно:

Действительно, обе части в (1) равны фильтру, порожденному произведениями из В из С из

Покажем теперь, что:

I. Если и фильтры Коши, то — фильтр Коши.

Доказательство. Имеем

Если принадлежат подходящим образом выбранному множеству А из и точно так же принадлежат подходящим образом выбранному множеству В из то лежат в произвольно малых окрестностях единицы а потому в силу леммы принадлежит сколь угодно малой окрестности следовательно, произведение (2) лежит в как угодно малой окрестности точки что и требовалось доказать.

II. Если фильтр Коши, а фильтр сходится к то фильтр сходится к При этом под подразумевается фильтр, который состоит из множеств из

Доказательство. Пусть принадлежат некоторому множеству А фильтра принадлежит некоторому множеству В фильтра (3, так что при подходяще выбранном В элемент у оказывается элементом произвольно малой окрестности V точки Имеем

В силу леммы множество при подходяще выбранных окрестности V и множестве А принадлежит сколь угодно малой окрестности точки Следовательно, произведение (3) принадлежит а потому содержится в сколь угодно малой окрестности точки

(см. скан)

Как и § 166, мы должны сейчас ввести аксиому сильной пополняемости являющуюся аналогом

Если фильтр Коши, то и фильтр Коши.

Это означает следующее: если произведения из лежат в сколь угодно малой окрестности точки то и произведения лежат в сколь угодно малой окрестности точки В случае абелевых групп это утверждение тривиально.

Фильтры Коши относительно умножения образуют некоторую полугруппу в том смысле, что здесь оказываются выполненными первые три аксиомы группы из § 6. В общем случае аксиома 4 не выполняется. Несмотря на то, что для каждого фильтра Коши существует фильтр Коши произведение в большинстве случаев не равно

Обозначим полугруппу фильтров Коши в через Превратим в топологическое пространство, определив базис окрестностей единичного элемента сопоставляя каждой окрестности

единицы из базисную окрестность следующим образом: и состоит из всех тех фильтров которые содержат по крайней мере одно множество

Определенные таким образом базисные окрестности удовлетворяют требованиям § 163. Для это утверждение тривиально, а для доказательства нужно воспользоваться леммой.

(см. скан)

С помощью окрестностей так же как и в § 163, построим сдвинутые окрестности Тем самым станет топологическим пространством. Взятие произведения и элемента непрерывны в смысле этой топологии; следовательно, можно рассматривать как топологическую полугруппу. Аксиома отделимости в общем случае для построенного объекта не выполнена (см. задачу 3).

Фильтры, сходящиеся к образуют в некоторую подполугруппу В силу II подполугруппа является нормальной в том смысле, что

Свойства полугрупп вместе с очевидным свойством

позволяют построить факторгруппу

Для этого нужно лишь еще раз просмотреть конструкцию факторгруппы из § 10 и заметить, что свойство а (т. е. в нашем случае как таковое вовсе не нужно: нужно лишь, чтобы Факторгруппа является, таким образом, настоящей группой: в ней каждый элемент обладает настоящим обратным. Так же, как в § 164, усматривается, что факторгруппа является топологической. Полугруппа отображается с помощью непрерывного гомоморфизма на

Согласно задаче 3 полугруппа состоит в точности из тех фильтров которые не отделимы от единичного элемента группы Согласно § 163 полугруппа замкнута и, следовательно, является -группой.

Каждый элемент из определяет некоторый фильтр состоящий из множеств А, содержащих х.

Этот фильтр содержит множество а потому является фильтром Коши. Таким образом, каждому элементу х группы соответствует некоторый элемент полугруппы Отображение является непрерывным, причем произведению соответствует произведение. Гомоморфизм сопоставляет элементу х некоторый образ х. Следовательно, получается цепь непрерывных гомоморфизмов

Если два элемента х и у неотделимы друг от друга в то они имеют один и тот же образ и наоборот.

Начиная с этого места, пусть некоторая -группа. Тогда любые два различных элемента х и у отделимы и, следовательно, отображение х—взаимно однозначно. Таким образом, группа вкладывается в

Пусть некоторый базис фильтра Коши в Так как погружается в можно рассматривать и как базис фильтра в С другой стороны, базис порождает в некоторый фильтр Коши При гомоморфизме ему соответствует некоторый элемент а из Мы утверждаем теперь следующее:

III. Базис фильтра сходится к а.

Доказательство. В соответствии с определением базиса фильтра Коши для каждой окрестности точки существует некоторое множество А из такое, что

Это можно записать и так: для всех

Множество принадлежит фильтру а множество фильтру х, так что произведение содержит множество Это означает, согласно определению окрестности что для всех

Перейдем теперь с помощью непрерывного гомоморфизма из тогда получится включение так что

Мы отождествили а потому для всех т. е.

Таким образом, в базисе фильтра существуют множества А, которые содержатся в сколь угодно малых окрестностях точки а, т. е. сходится к а. Тем самым доказано III.

Так как в каждой окрестности точки а лежит некоторое непустое множество А, то в каждой окрестности точки а находятся некоторые точки из Это означает, что

Группа плотна в

Отсюда и из III в силу последней теоремы § 167 следует, что:

IV. Группа является сильно полной.

(см. скан)