§ 95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления

Произвольная алгебра как абелева группа отностительно сложения обладает двумя областями операторов:

Во-первых, это поле Инвариантные относительно этой области операторов подгруппы являются линейными подпространствами.

Во-вторых, это сама алгебра элементы которой рассматриваются как левые или правые операторы. Инвариантные относительно этой области операторов подгруппы являются левыми идеалами, правыми идеалами и двусторонними идеалами.

Раз и навсегда мы договоримся сейчас о том, что при рассмотрении (левых, правых или двусторонних) идеалов в алгебрах поле считается областью операторов. Это означает, что в качестве допустимых левых идеалов рассматриваются лишь такие подгруппы, которые вместе с каждым элементом а содержат не только все произведения принадлежит но и все произведения принадлежит ; аналогичный смысл имеет сделанное утверждение и для правых идеалов. Таким образом, допустимы лишь такие идеалы, которые одновременно являются и векторными подпространствами. Точно так же два левых идеала операторно изоморфны лишь тогда, когда существует изоморфизм при котором переходит в в Левый идеал называется простым или минимальным, если он не содержит допустимых идеалов, отличных от нулевого и себя самого.

Для идеалов алгебры, подчиненных такому ограничению, выполняются условия максимальности и минимальности:

Каждое непустое множество идеалов (правых, левых или двусторонних) содержит (по крайней мере) один максимальный идеал, т. е. такой идеал, который не содержится ни в каком другом

идеале данного множества, и один минимальный идеал, т. е. идеал, не содержащий ни одного другого идеала данного множества.

Это утверждение справедливо, так как в силу приведенного выше соглашения каждый идеал является одновременно и векторным подпространством, а в любом непустом множестве линейных пространств размерности существуют пространства наибольшей размерности и наименьшей размерности.

Чтобы получить основные теоремы теории алгебр при достаточно общих предположениях, мы будем на протяжении этой главы рассматривать не алгебры, а произвольные кольца о, в которых, в зависимости от потребностей, будет считаться выполненным условие максимальности или минимальности для левых или правых идеалов. Кольцо о может быть наделено областью операторов (играющей тут роль поля элементы которой обладают следующими свойствами:

Если задана такая область операторов, то понятие идеала ограничивается следующим требованием: вместе с каждым элементом а идеал содержит и все элементы принадлежит Когда нам будет нужно подчеркнуть наличие этого условия, мы будем говорить о допустимых правых или левых идеалах. Только для них будет требоваться выполнение условия максимальности или минимальности.

Следует выяснить, какие из конструкций теории идеалов — суммы, произведения и т. д. имеют смысл для некоммутативных колец с областью или без области операторов. Прежде всего, ясно, что пересечение и сумма двух допустимых правых или левых идеалов вновь являются допустимыми правыми или соответственно левыми идеалами. Произведение (множество всех сумм как это можно заметить непосредственно, является допустимым правым идеалом, если таковым является правый сомножитель, и допустимым левым идеалом, если таковым является левый сомножитель. Второй множит ель в этом случае может быть совершенно произвольным множеством или просто некоторым элементом из с; например, это множество всех произведений являющееся правым идеалом, если — правый идеал.

Если — левый идеал и — произвольное множество кольца с, то можно определить левое частное как множество тех х из , для которых

Левое частное является левым идеалом, потому что из следует, что и из следует, что для любого из , Если оба являются левыми

идеалами, то является даже двусторонним идеалом, потому что из следует, что Аналогично можно определить правое частное двух правых идеалов, но нам это не потребуется.

Чтобы показать, насколько важно условие минимальности, мы докажем следующие теоремы:

Если — кольцо с условием минимальности для левых идеалов, — элемент из , не являющийся правым делителем нуля, то в кольце уравнение разрешимо для любого

Доказательство. В множестве левых идеалов должен существовать минимальный, скажем, Так как и условие невозможно, то Следовательно, каждое произведение представимо в виде

Отсюда после сокращения на множителей а слева и справа получается равенство

т. е. уравнение разрешимо.

Точно так же доказывается: если о — кольцо с условием минимальности для правых идеалов и элемент а не является левым делителем нуля, то уравнение разрешимо.

Из этих двух теорем следует утверждение:

Если о — кольцо без делителей нуля с условием минимальности для левых и правых идеалов, то оно является телом.

В частности, каждая алгебра без делителей нуля является телом. Такие алгебры называются алгебрами с делением.

Задача 1. Для кольца с единицей рассмотренное выше ограничение понятия идеала, связанное с учетом или как области операторов, несущественно: в этом случае каждый идеал допускает умножение на или на

Задача 2. Необходимым и достаточным условием для выполнения условий минимальности и максимальности для левых идеалов кольца с является существование композиционного ряда из таких идеалов.

Кроме идеалов кольца о, мы рассматриваем также и с-модули и, в основном, такие модули в которых мультипликаторы из о стоят слева. Эти модули называются левыми -модулями. Если элементы из элементы из то будет считаться, что выполнены условия:

Если кольцо с наделено областью операторов то мы требуем, чтобы была областью операторов и для (которые

в этом случае пишутся справа) и чтобы выполнялись правила:

Таким образом, рассматриваемые модули являются двойными (на них о действует слева, справа).

Будет подразумеваться, что подмодули данного модуля всегда допустимы, т. е. таковы, что допускают в качестве операторов элементы из Модуль не имеющий подмодулей, за исключением себя самого и модуля называется простым, или минимальным. Кольцо о называется простым, если оно является простым как двойной модуль, для которого само о служит областью левых и правых операторов (и, возможно, дополнительной областью операторов является т. е. если о не содержит никаких допустимых двусторонних идеалов, кроме себя самого и

Умножение элементов модуля на фиксированный элемент а кольца о дает некоторый эндоморфизм -модуля

Таким образом, каждому элементу а кольца о соответствует некоторый эндоморфизм А. Произведению элементов соответствует произведение эндоморфизмов а сумме сумма которая определяется равенством

Следовательно, отображение является гомоморфизмом колец. Определим теперь эндоморфизм для формулой

тогда произведению будет соответствовать произведение Поэтому гомоморфизм колец является одновременной операторным гомоморфизмом относительно Гомоморфизм колец с этим свойством называется представлением кольца о (эндоморфизмами -модуля

Мы видели, что каждый двойной модуль (для которого — область левых, а — область правых операторов) приводит к некоторому представлению кольца . Если же, наоборот, задано представление а кольца эндоморфизмами некоторого -модуля и с помощью (8) определены произведения то модуль будет двойным с областью левых операторов областью правых операторов

Если — алгебра над основным полем т. е. является векторным пространством над то, как правило, ограничиваются лишь модулями являющимися векторными пространствами над ; в таких модулях единичный элемент из является

ничным операюром. В этом случае эндоморфизмы являются линейными преобразованиями векторного пространства и мы имеем дело с представлениями кольца о линейными преобразованиями.

Ядро гомоморфизма состоит из тех элементов а, для которых т. е. ядро является двусторонним идеалом Если ядро — нулевой идеал и гомоморфизм является изоморфизмом, то представление называется точным.

Представление а называется (как и в § 87) приводимым, если модуль представления обладает подмодулем отличным от и Если такого подмодуля нет, то модуль прост, и представление называется неприводимым.

Если модуль является вполне приводимым в смысле § 53, т. е. равен прямой сумме простых модулей, то и представление называется вполне приводимым. Вид матриц приводимого и вполне приводимого матричных представлений был описан в § 87 с помощью формул (4) и (7).

Два представления кольца о называются эквивалентными, если они связаны с изоморфными двойными модулями. В случае конечномерных векторных пространств это означает, что при соответствующем выборе базисов матрицы обоих представлений совпадают.

Несмотря на простоту этих связей, их значение очень велико для описания строения алгебр и теории представлений алгебр. Уже в § 93, пример 2, мы получили представление кватернионов двустрочными матрицами, при котором сама алгебра кватернионов 21 рассматривалась как двойной модуль (с областью левых операторов 21 и областью правых операторов 2).