Главная > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. Подгруппы

Чтобы непустое подмножество группы само было группой с тем же законом композиции, что необходимо и достаточно, чтобы выполнялись аксиомы 1, 2, 3, 4. Аксиома 1 утверждает, что если лежат в то и их произведение также лежит в Аксиома 2 выполняется в если она выполняется в Аксиомы 3 и 4 означают, что в лежит единичный элемент и что вместе с каждым элементом а в множестве лежит обратный к нему элемент . В данном случае требование о единичном элементе излишне, потому что если а — любой элемент из то лежит в следовательно, произведение также лежит в Тем самым доказано:

для того чтобы непустое подмножество данной группы было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) множество содержит вместе с любыми двумя своими элементами и их произведение;

2) множество содержит вместе с каждым своим элементом а обратный к нему элемент а

Если, в частности, множество конечно, то второе из этих требований даже излишне, потому что в этом случае требования 3 и 4 могут быть заменены на требование 6, а оно, будучи выполненным в (3, обязательно выполняется и в

Вообще, условия 1) и 2) можно объединить в одно: множество должно вместе с любыми двумя своими элементами содержать произведение Тогда содержит вместе с а и единицу и обратный элемент а потому вместе с и элемент и произведение

Если (в абелевой группе) групповые соотношения записаны аддитивно, то подгруппа характеризуется тем, что вместе с любыми двумя своими элементами она содержит а а имеете с а и элемента. Оба эти требования можно объединить в одно: вместе с в подгруппе должен лежать элемент

Примеры подгрупп.

Каждая группа имеет в качестве подгруппы единичную группу состоящую из одного-единственного единичного элемента.

Важнейшей подгруппой симметрической группы всех подстановок объектов является знакопеременная группа состоящая из тех подстановок, которые, будучи применены к переменным переводят функцию

в себя. Такие подстановки называются четными, а остальные — нечетными. Последние меняют знак у функции А. Каждая транспозиция (т. е. подстановка, меняющая местами две цифры) является нечетной подстановкой. Произведение двух четных или двух нечетных подстановок — четная подстановка; произведение четной и нечетной подстановки — нечетная подстановка. Из первого свойства следует, что — группа. Так как фиксированная транспозиция при умножении переводит четные подстановки в нечетные и наоборот, количество четных и нечетных подстановок одинаково и равно (ср. § 6, задача 7).

Для более удобного описания подгрупп симметрической группы используют известное представление подстановок, циклами:

Символом обозначается циклическая подстановка, переводящая и оставляющая все остальные объекты неподвижными. Легко показать, что любая подстановка представляется однозначно (с точностью до порядка следования) в виде произведения циклических подстановок или «циклов»:

где любые два цикла не имеют ни одного общего элемента. Сомножители

в этом произведении перестановочны Цикл из одного элемента, скажем (1), представляет тождественную подстановку. Конечно, имеет место равенство

С помощью таких символов мы можем следующим образом представить подстановок группы

Все подгруппы в данном случае легко определяются. Вот они (кроме самой группы

Пусть произвольные элементы некоторой группы тогда, кроме группы в ней могут быть такие подгруппы, которые содержат элементы Пересечение всех этих подгрупп снова является некоторой группой Говорят, что порождают группу . Она обязательно содержит произведения типа (составленные из конечного числа сомножителей с повторениями или без). Такие произведения образуют группу, которая содержит элементы следовательно, включает в себя группу . Поэтому она совпадает с Мы доказали следующее:

Группа, порожденная элементами состоит из всевозможных конечных произведений этих элементов и элементов, обратных к ним.

В частности, отдельный элемент а порождает группу всех своих степеней (включая ). Так как

эта группа абелева.

Группа, состоящая из степеней одного элемента, называется циклической.

Существуют две возможности. Либо все степени различны; тогда циклическая группа

бесконечна. Либо они повторяются и оказывается, что

Тогда

Пусть в этом случае наименьший положительный показатель, при котором Тогда степени различны, потому что иначе

а отсюда следовало бы, что

что противоречит выбору числа

Если произвольное целое число представить в виде

то окажется, что

Таким образом, все степени элемента а уже встречаются в серии Поэтому циклическая группа содержит в точности элементов, а именно — элементы

Число порядок циклической группы, порожденной элементом — называется порядком элемента . Если все степени элемента а различны, то а называется элементом бесконечного порядка.

Примеры. Целые числа

со сложением в качестве композиции образуют бесконечную циклическую группу. Описанные выше группы являются циклическими группами порядков 2, 3.

(см. скан)

Определим теперь все подгруппы циклической группы. Пусть произвольная циклическая группа с образующей а подгруппа, состоящая не только из единицы. Если содержит элемент с отрицательным показателем, то и обратный к нему элемент лежит в Пусть элемент в с наименьшим положительным показателем. Докажем, что все элементы из являются степенями элемента Действительно, если произвольный элемент из то можно вновь считать, что

Тогда элемент из Отсюда следует, что в силу выбора числа следовательно, Таким образом, все элементы подгруппы являются степенями элемента

Если элемент а имеет конечный порядок т. е. то элемент должен лежать в а потому число должно

делиться на Подгруппа состоит в таком случае из элементов и имеет порядок Но если а имеет бесконечный порядок, то и группа состоящая из элементов, имеет бесконечный порядок. Тем самым мы доказали следующее:

Подгруппа циклической группы снова циклическая. Она состоит либо из единицы, либо из степеней элемента с наименьшим возможным положительным показателем Другими словами, она состоит из степеней элементов исходной группы, При этом для бесконечной циклической группы число произвольно, в то время как для циклической группы конечного порядка число должно быть некоторым делителем числа . В этом случае подгруппа имеет порядок Для каждого такого числа существует одна и только одна подгруппа порядка в группе а именно

1
Оглавление
email@scask.ru