§ 31. Признаки неразложимости

Пусть целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначном разложении на множители, и пусть

— произвольный многочлен из кольца Нижеследующая теорема позволяет во многих случаях выяснить вопрос о неразложимости

Теорема Эйзенштейна. Если в существует простой элемент для которого

то многочлен неразложим в кольце с точностью до постоянных множителей; другими словами, многочлен неразложим в кольце где поле частных кольца

Доказательство. Если разложим, то

и тогда

Отсюда либо либо Пусть, скажем, Тогда так как иначе

Не все коэффициенты многочлена делятся на потому что в противном случае произведение делилось бы на и все коэффициенты, в частности делились бы на что противоречит условию. Пусть первый коэффициент в который не делится на

Тогда

и, следовательно,

что противоречит условию.

Таким образом, многочлен является неразложимым с точностью до постоянных множителей.

Пример 1. Многочлен простое число) в кольце целочисленных многочленов (и тем самым в кольце многочленов с рациональными коэффициентами) неразложим. Следовательно, простое число) — иррациональное число.

Пример 2. Многочлен при простом числе является левой частью «уравнения деления круга». Поставим и здесь вопрос о разложимости над целыми (или, что по существу то же самое, над рациональными) числами. Признак Эйзенштейна применить непосредственно здесь нельзя, но можно поступить следующим образом. Если бы многочлен был разложим, то таким же был бы и многочлен Имеем

Все коэффициенты, кроме коэффициента при делятся на потому что в формуле для биномиального коэффициента

при числитель делится на а знаменатель нет. Кроме того, постоянный член не делится на Следовательно, — неразложимый многочлен, а потому неразложим и

Пример 3. То же самое преобразование приводит многочлен к виду

и тем самым приводит к решению вопроса о разложимости.

(см. скан)

Пример 4. . Если многочлен разложим то один из сомножителей должен быть линейным или квадратичным. По модулю 2 есть лишь два линейных многочлена

и лишь один неразложимый квадратичный многочлен

Процесс деления показывает, что не делится ни на один из этих многочленов (по модулю 2). Это непосредственно усматривается из соотношений

Следовательно, неразложимый многочлен.