§ 78. Определение вещественных чисел

Для каждого упорядоченного поля К мы построим упорядоченное расширение , в котором окажется выполненной известная теорема Коши о сходимости. В частности, если К — поле рациональных чисел, то будет полем «вещественных чисел». Из различных известных в анализе способов построения поля мы предложим здесь канторов способ «фундаментальных последовательностей».

Бесконечная последовательность элементов из некоторого упорядоченного поля К называется фундаментальной последовательностью если для каждого положительного из К существует натуральное число такое, что

Из (1) для следует, что

Таким образом, каждая фундаментальная последовательность ограничена.

Сумма и произведение фундаментальных последовательностей определяются равенствами

То, что сумма и произведение тоже являются фундаментальными последовательностями, показывается так: для каждого существуют и такие, что

Пусть наибольшее из чисел тогда

Аналогично, пусть таковы, что

и, далее, для каждого пусть таковы, что

Отсюда с помощью умножения на соответственно на получаем

Следовательно, если наибольшее из чисел то

Очевидно, что сложение и умножение фундаментальных последовательностей удовлетворяют аксиомам кольца; таким образом: фундаментальные последовательности образуют некоторое кольцо о.

Нуль-последовательностью называется фундаментальная последовательность которая «сходится к 0», т. е. такая, что для любого существует со свойством

Покажем, что

Нуль-последовательности образуют в о некоторый идеал и. Доказательство. Если нуль-последовательности, то для каждого существуют и такие, что

следовательно, если опять обозначить через максимальное из чисел то

откуда нуль-последовательность. Далее, если нуль-последовательность, а произвольная фундаментальная последовательность, то существуют такие и что

при этом для каждого существует такое что

Но тогда

следовательно, нуль-последовательность.

Обозначим кольцо классов вычетов через Покажем, что является полем, т. е. покажем, что сравнение

в кольце о при обладает некоторым решением. При этом символ 1 обозначает единичный элемент в о, т. е. фундаментальную последовательность

Должны существовать такие, что

Действительно, если бы для всех и всех выполнялось неравенство

то можно было бы выбрать при заданном настолько большим, чтобы при выполнялось неравенство

отсюда следовало бы, что

для всех т. е. последовательность была бы нуль-последовательностью, что противоречит предположению.

Фундаментальная последовательность остается в том же классе вычетов по модулю если заменить на Обозначим опять через эти новые элементов тогда для всех окажется выполненным условие

Теперь последовательность является фундаментальной, потому что для каждого существует такое, что

Если бы выполнялось неравенство для некоторого и некоторого то с помощью умножения на и на получалось бы соотношение

что, однако, места не имеет. Следовательно,

Очевидно, фундаментальная последовательность является решением сравнения (2).

Поле содержит, в частности, те классы вычетов по модулю которые представляются фундаментальными последовательностями вида

Эти последние составляют некоторое подкольцо К внутри изоморфное полю К, потому что каждому а из К соответствует такой класс вычетов, различным а соответствуют различные классы

вычетов, сумме соответствует сумма, а произведению соответствует произведение. Отождествим элементы из К с соответствующими элементами из тогда станет расширением поля К.

Фундаментальная последовательность называется положительной, если существует в поле К и натуральное число такие, что

Сумма и произведение двух положительных фундаментальных последовательностей являются, очевидно, положительными. Кроме того, сумма положительной последовательности и нуль-последовательности положительна; это показывается с помощью выбора столь большого номера что

отсюда заключаем, что при Тем самым, все последовательности одного класса по модулю положительны, если в этом классе есть хотя бы одна положительная последовательность. В этом случае класс вычетов называется положительным. Класс вычетов называется отрицательным, если положителен класс

Если ни последовательность ни последовательность положительными не являются, то для каждого и каждого существуют такое и такое что

Выберем настолько большим, чтобы при выполнялось неравенство

тогда, полагая сначала и беря произвольно большим, превосходящим получим

а затем, полагая и беря произвольно большим и превосходящим получим

откуда

и, следовательно, нуль-последовательность.

Таким образом, либо положительная последовательность, либо положительная последовательность, либо нуль-последовательность. Поэтому каждый класс вычетов по модулю

положителен, отрицателен или равен нулю. Так как сумма и произведение положительных классов вычетов положительны, мы делаем следующий вывод:

Поле является упорядоченным.

Непосредственно усматривается, что упорядочение поля К сохраняется в поле

Если последовательность определяет элемент а, а последовательность — элемент поля то из

следует, что Действительно, если бы выполнялось т. е. то для фундаментальной последовательности существовали бы такие, что

здесь тогда получится противоречие с условием Отметим, что из следует не силу сказанного выше, из ограниченности каждой фундаментальной последовательности следует, что для каждого элемента со поля существует превосходящий его элемент из К. Если поле К архимедово, то для существует превосходящее его натуральное число Таким образом, для каждого со в этом случае существует превосходящее его натуральное число т. е. поле также архимедово.

Конечно, в самом поле можно ввести понятия абсолютного значения (модуля), фундаментальной последовательности и нуль-последовательности. Нуль-последовательности и в этом случае составляют некоторый идеал. Если последовательность сравнима с некоторой постоянной последовательностью по модулю этого идеала, т. е. если нуль-последовательность, то говорят, что последовательность сходится к пределу а и пишут

Фундаментальные последовательности из К, которые служат для определения элементов поля могут, конечно, рассматриваться как фундаментальные последовательности в потому что К содержится в Покажем следующее: если последовательность определяет элемент а поля то Для доказательства заметим, что для каждого положительного из существует меньший положительный элемент из К, а для него в свою очередь существует такое что при имеет место неравенство

т. е. разности обе меньше Согласно сделанному выше замечанию отсюда следует, что меньше

или равны следовательно,

Значит, нуль-последовательность.

Покажем теперь, что поле не может быть далее расширено с помощью фундаментальных последовательностей, т. е. каждая фундаментальная последовательность имеет предел уже в поле (теорема Коши о сходимости).

При доказательстве мы можем предполагать, что в последовательности два следующих друг за другом элемента всегда различны. Действительно, если это не так, то мы либо можем выбрать подпоследовательность, состоящую из отличающихся от и из сходимости которой, конечно, немедленно следует сходимость данной последовательности, либо считать, что последовательность остается постоянной, начиная с как места: при конечно, в этом случае а Положим

Так как последовательность фундаментальна, последовательность является нуль-последовательностью. Согласно предположению

Выберем теперь для каждого аппроксимирующий его элемент со свойством

Сделать это можно, потому что сам элемент определяется фундаментальной последовательностью вида с пределом Далее, для каждого существуют такие что

Если тенерь наибольшее из чисел то для три абсолютные величины меньше следовательно,

Тем самым, элементы составляют фундаментальную последовательность в К, определяющую некоторый элемент со ноля

Последовательность отличается от этой фундаментальной последовательности лишь на нуль-последовательность а потому у нее тот же предел со.

Проведенная выше конструкция сопоставляет каждому упорядоченному полю К такое его расширение в котором выполнена теорема Коши о сходимости. В частности, если К — поле рациональных чисел то — поле вещественных чисел Следовательно, вещественное число в этой теории определяется как класс вычетов по модулю и кольца фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Пусть 2 — упорядоченное поле и непустое множестьо элементов из Если в К существует элемент для которого

то называется верхней границей множества а называется ограниченным сверху. Если существует наименьшая верхняя граница, то она называется верхней гранью множества

Рассмотрим опять построенное выше на основе поля К поле и докажем для случая, когда К, а значит, и архимедовы, теорему о верхней грани:

Каждое непустое ограниченное сверху множество с имеет в верхнюю грань.

Доказательство. Пусть произвольная верхняя граница множества произвольное целое число, превосходящее (конечно, это число — тоже верхняя граница); пусть произвольный элемент множества и целое число, превосходящее Тогда

Для каждого натурального числа рассмотрим (конечное) множество всех дробей некоторое целое число), лежащее «между» :

Найдем наименьшую из трех перечисленных дробей, являющихся верхними границами множества Хотя бы одна такая дробь существует, потому что таким свойством обладает число

Обозначим эту наименьшую верхнюю границу через Тогда уже не будет верхней границей; тем самым для каждого имеет место соотношение

Отсюда следует, что

а потому

Для заданного можно найти натуральное число а затем и степень Тогда Таким образом, (5) утверждает, что является фундаментальной последовательностью, которая тем самым определяет некоторый элемент поля Из (4), далее, следует, что

Элемент является верхней границей множества т. е. все элементы из не превосходят со. Действительно, если бы то можно было бы найти число тогда выполнялось бы неравенство Если к этому неравенству прибавить неравенство то получится что не так, потому что верхняя граница множества

Элемент является наименьшей верхней границей множества Действительно, если бы элемент а тоже был верхней границей, но меньшей со, то опять можно было бы найти число для которого Так как не является верхней границей множества то существует элемент из со свойством: Отсюда следует, что

и с помощью сложения с предыдущим неравенством мы получаем

чего быть не может. Следовательно, элемент со — верхняя граница множества

В неархимедовом поле теорема о верхней грани может не иметь места. Действительно, рассмотрим в таком поле последовательность натуральных чисел существует элемент поля превосходящий все натуральные числа; таким образом, эта последовательность ограничена. Если бы элемент был верхней гранью упомянутой последовательности, то элемент оказался бы верхней гранью удвоенной последовательности Так как элемент обязательно положителен, имеет место неравенство в то время как является верхней границей и для чисел таким образом, не может служить верхней гранью — наименьшей верхней границей. Теорема о верхней грани может выполняться лишь в архимедовом поле.

Докажем теперь следующие предложения:

1. Каждое архимедово поле К является порядково изоморфным некоторому подполю К поля вещественных чисел.

2. Если в поле К имеет место теорема о верхней грани, то следовательно, поле К порядково изоморфно полю вещественных чисел.

Доказательство. Каждый элемент а поля К является верхней гранью некоторого множества рациональных чисел. В качестве можно выбрать, например, множество всех рациональных чисел для которых То же самое множество имеет некоторую верхнюю границу а и в К. Отображение а является аддитивным гомоморфизмом, т. е. сумма переходит в сумму а Ядро этого гомоморфизма состоит только из нуля; следовательно, этот аддитивный гомоморфизм является изоморфизмом. Произведению двух положительных элементов соответствует произведение Следовательно, произведениям

соответствуют в поле числа

Значит, и в общем случае произведению соответствует произведение. Положительные элементы из К переходят в положительные элементы из К. Таким образом, поле К порядково изоморфно полю К. Утверждение 1 доказано.

Если в К выполнена теорема о верхней грани, то, в частности, каждое ограниченное множество рациональных чисел согласно сказанному выше имеет в К верхнюю грань а; поэтому то же множество в К имеет верхнюю грань а. Отсюда следует, что в К лежит каждое вещественное число, потому что каждое вещественное число является верхней гранью некоторого множества рациональных чисел. Следовательно, чем и доказывается 2.

(см. скан)