§ 74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость

Пусть расширение заданного поля Элемент из называется алгебраически зависимым от если алгебраичен над полем т. е. если удовлетворяет алгебраическому уравнению

коэффициенты которого являются многочленами от с коэффициентами из и не все равны нулю.

Отношение алгебраической зависимости обладает следующими основными свойствами, аналогичными основным свойствам отношения линейной зависимости (см. § 20):

Основная теорема 1. Каждый элемент алгебраически зависит от элементов их,

Основная теорема 2. Если алгебраически зависит от но не от то алгебраически зависит от

Доказательство. Будем считать, что присоединены к основному полю. Тогда алгебраически зависит от т. е. имеет место алгебраическое соотношение

Расположим это уравнение по степеням элемента тогда

Согласно условию элемент трансцендентен над полем Многочлены по этой причине либо тождественно равны нулю как многочлены от или отличны от нуля. Все они, однако, не могут быть тождественно равны нулю по так как иначе левая часть в (1) была бы тождественным нулем по и, т. е. выполнялись бы равенства что противоречит условию. Следовательно, не все входящие в (2) коэффициенты равны нулю; тем самым, в силу (2) элемент алгебраически зависит от над полем

Основная теорема 3. Если элемент алгебраически зависит от и каждый алгебраически зависит от то алгебраически зависит от и

Доказательство. Если алгебраический элемент над полем то он будет алгебраическим и над а это поле алгебраично над Поэтому в силу § 41 элемент алгебраичен над что и требовалось доказать.

В силу этих основных теорем об алгебраической зависимости справедливы и следствия из них, аналогичные сформулированным в § 20; в частности, справедлива теорема о замене.

Аналогом понятия линейной независимости может служить понятие алгебраической независимости: элементы называются алгебраически независимыми над основным полем если ни один из них не является алгебраически зависимым от остальных. Имеет место

Теорема. Элементы алгебраически независимы тогда и только тогда, когда из

где многочлен с коэффициентами из следует равенство нулю всех коэффициентов многочлена

Доказательство. Если имеет своим следствием равенство нулю многочлена то, очевидно, ни один из элементов не может быть алгебраически зависимым от остальных Пусть, наоборот, элементы алгебраически независимы. Если

и если многочлен расположен по степеням элемента то коэффициенты этого многочлена оказываются тождественно равными нулю. Расположим эти коэффициенты-многочлены по степеням элемента и точно так же установим, что и их коэффициенты тождественно равны нулю; продолжая таким образом, мы в конце концов установим, что коэффициенты многочлена равны нулю.

Согласно этой теореме элементы при условии, что они алгебраически независимы, не связываются никаким алгебраическим уравнением. По этой причине их называют независимыми трансцендентными элементами.

Если алгебраически независимы и переменные над полем то каждому многочлену с коэффициентами из можно взаимно однозначно сопоставить многочлен Поэтому Из существования этого изоморфизма колец многочленов следует

существование изоморфизма полей частных:

Таким образом, независимые трансцендентные элементы совпадают в смысле алгебраических свойств с обычными независимыми переменными.

Понятия алгебраической зависимости и независимости могут быть введены и для бесконечных множеств. Элемент называется (алгебраически) зависимым от множества (над основным полем если он алгебраичен над полем т. е. удовлетворяет некоторому уравнению, коэффициентами которого являются рациональные функции от элементов множества с коэффициентами из поля этом случае упомянутое уравнение с помощью умножения на произведение знаменателей коэффициентов можно сделать целым рациональным уравнением с элементами из . В такое уравнение входит лишь конечное число элементов множества поэтому:

Если элемент зависит от то зависит от конечного числа элементов из

Выберем конечное множество так, чтобы ни один из его элементов не был лишним; тогда в силу основной теоремы 2 каждый элемент зависит от у и от остальных

Основная теорема 3 без оговорок переносится на случай бесконечных множеств:

Если и зависит от и каждый элемент из зависит от то и ъависит от

Множество называется (алгебраически) зависимым от множества если все элементы из зависят от Если зависит от а зависит от то зависит от

Если два множества зависят друг от друга, то они называются эквивалентными (над Отношение эквивалентности, введенное таким путем, является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Множество называется алгебраически независимым (над если ни один из его элементов не зависит алгебраически от остальных. В этом случае говорят также, что множество «состоит из независимых трансцендентных элементов».

Если множество алгебраически независимо, то соотношение между элементами вида

где многочлен с коэффициентами из может выполняться лишь тогда, когда тождественно равен нулю:

Если построить кольцо многочленов от стольких переменных сколько элементов в (неважно, конечно или бесконечно это множество) и каждому многочлену сопоставить элемент поля то, очевидно, получится некоторый гомоморфизм кольца многочленов на кольцо элементов поля Если алгебраически независимо, то различные многочлены переходят в различные элементы поля; следовательно, в этом случае получается изоморфизм

Из изоморфизма колец многочленов вновь следует изоморфизм полей частных. Тем самым доказана теорема:

Поле получающееся присоединением алгебраически независимого множества к полю изоморфно полю рациональных функций от множества переменных X равномощного множеству т. е. полю частных кольца многочленов

Каждое поле которое получается присоединением алгебраически независимого множества к называется чисто трансцендентным расширением поля Строение чисто трансцендентных расширений полностью описывается предыдущей теоремой: каждое такое расширение изоморфно полю частных некоторого кольца многочленов. Таким образом, строение поля зависит лишь от мощности множества эта мощность называется степенью трансцендентности, ей посвящен следующий параграф,