§ 142. Пополнения

Для произвольного нормированного поля К можно, в соответствии с § 78, построить нормированное расширение в котором имеет место критерий сходимости Коши. При этом мы по-прежнему будем предполагать, что значения являются

вещественными числами. Определим в К фундаментальные последовательности как последовательности, обладающие следующим свойством:

где произвольное положительное число из Из кольца фундаментальных последовательностей получается поле классов вычетов точно так же, как в § 78; все доказательства переносятся на этот случай дословно. Единственная разница состоит в том, что как и само поле К, является не упорядоченным, а всего лишь нормированным. Нормирование на определяется так: если а определяется фундаментальной последовательностью то на основании уже доказанного неравенства

значения составляют также фундаментальную последовательность, которая, следовательно, должна в поле вещественных чисел обладать некоторым пределом со. Положим

Все фундаментальные последовательности с одним и тем же пределом а определяют одно и то же значение и эта конструкция удовлетворяет требованиям 1) —4).

Поле является полным относительно нормирования которое только что было определено, т. е. оно удовлетворяет критерию сходимости Коши:

Каждая фундаментальная последовательность в имеет в некоторый предел.

Мы назвали последовательность фундаментальной, если для каждого из поля значений нормирования существует такое что

В случае неархимедова нормирования достаточно вместо этого условия потребовать следующее:

Действительно, это сумма слагаемых и если все они имеют значение, меньшее то в силу (1) из § 141 значение суммы также меньше

Итак:

В каждом поле, полном относительно неархимедова нормирования, любая последовательность обладает пределом, если только разности составляют нуль-последовательность.

Этот критерий можно высказать и так: для сходимости

бесконечного ряда необходимо и достаточно, чтобы

Если поле рациональных чисел нормировать обычным образом с помощью абсолютной величины то в качестве полного расширения получится, конечно, поле вещественных чисел. Если же исходить из -адического нормирования на С), то в качестве пополнения получится поле -адиче-ских чисел Гензеля.

Поля таким образом, совершенно равнонравны с полем вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел (и для арифметики являются столь же важными).

Элементы поля т. е. -адические числа, могут быть представлены в более удобной, чем фундаментальная последовательность, форме. Действительно, рассмотрим, для модуль состоящий из рациональных чисел, числитель которых делится на а знаменатель не делится на для таких чисел, следовательно, Назовем два рациональных числа сравнимыми если их разность принадлежит Если теперь некоторая -адическая фундаментальная последовательность рациональных чисел, то для каждого X, начиная с некоторого имеем

т. е.

Все числа принадлежат, таким образом, однозначно определенному классу вычетов по модулю Поэтому фундаментальная последовательность определяет некоторую последовательность классов вычетов

вложенных друг в друга указанным способом. Обратно, каждая последовательность которая указанным способом определяет последовательность вложенных друг в друга классов вычетов по модулю так что

является фундаментальной.

В частности, если нуль-последовательность, то — нулевой класс вычетов. При сложении фундаментальных последовательностей складываются и соответствующие последовательности классов вычетов: В частности, прибавим к некоторой фундаментальной последовательности нуль-последовательность; тогда соответствующая последовательность

классов вычетов не изменится. Обратно, если две последовательности соответствуют одной и той же последовательности классов вычетов то их разность — нуль-последовательность. Итак: каждому -адическому числу взаимно однозначно соответствует некоторая последовательность классов вычетов описанного вида.

Это представление -адических чисел с помощью последовательностей классов вычетов мы и имели в виду выше, когда говорили об удобном представлении. Чтобы перейти от представления некоторого -адического числа а классами вычетов к обычному представлению фундаментальной последовательностью, нужно лишь из каждого класса выбрать произвольный элемент тогда Можно также представить а в виде бесконечной суммы, положив

и тогда

так что

При этом рациональные числа, знаменатели которых не делятся на -адический предел последовательности обычных целых чисел называется целым -адическим числом. Для классов вычетов это означает, что в каждом из них имеется некоторое целое число. В частности, для целого -адического числа класс является нулевым классом вычетов — совокупностью рациональных чисел со знаменателями, не кратными числу Это условие является и достаточным для того, чтобы число было целым: если нулевой класс вычетов по модулю то все классы вычетов содержат целые числа. Действительно, содержится в и поэтому состоит из таких чисел для которых Если мы решим теперь сравнение

то получится

так что число х принадлежит классу вычетов .

Поэтому в представлении рядом когда а — целое -адическое число, можно все а потому и все выбрать среди обычных целых чисел. Таким образом, (1) является степенным рядом по с целочисленными коэффициентами. Каждый такой степенной ряд сходится в смысле -адического нормирования и представляет некоторое целое -адическое число.

Каждое -адическое число а, представляемое классами вычетов можно превратить в целое -адическое число умножением на некоторую степень Действительно, если — элемент из класса вычетов то с помощью умножения этого элемента на некоторую степень можно добиться того, чтобы знаменатель числа не содержал множителя и тем самым оказался переведенным в нулевой класс вычетов по модулю Если теперь разложить целое -адическое число рта в степенной ряд (1) с целыми то для а получится представление с конечным числом отрицательных степеней

Представление (1) целого -адического числа а можно канонизировать, беря всюду в качестве наименьший неотрицательный целочисленный представитель класса вычетов Тогда все числа удовлетворяют условию Если опять перейти от (1) к (2), то получится однозначно определенное разложение (2) произвольно заданного целого -адического числа, в котором

На основе -адического нормирования поля К, которое в соответствии со способом, описанным в § 141, задается простым идеалом у некоторого целостного колец , получается полное -адическое поле обобщение гензелева -адического поля. Например, если идеал в кольце многочленов то — это кольцо всех степенных рядов

с коэффициентами из Эти степенные ряды сходятся в смысле -адического нормирования всегда, как бы ни выбирались коэффициенты Выражения (3) называют формальными степенными рядами по

(см. скан)

Может оказаться, что два различных нормирования некоторого поля К приводят к одному и тому же пополнению Очевидно, этот случай имеет место тогда и только тогда, когда каждая последовательность из К, являющаяся нуль-последовательностью относительно является нуль-последовательностью

и относительно и наоборот. В таком случае, т. е. при условии равносильности равенств мы будем называть нормирования эквивалентными.

Для нормирования поля комплексных чисел (обычное абсолютное значение) можно построить бесконечно много эквивалентных нормирований, положив где фиксированное положительное число, не превосходящее 1. Условия 1) —3) выполняются здесь тривиально. Условие 4) следует из того, что если воспользоваться неравенством которое выполняется для любых двух вещественных чисел и числа

Для -адического нормирования поля рациональных чисел эквивалентным является каждое нормирование где а — произвольно фиксированное положительное число.

Пусть нормирования поля К. Покажем что следующие три утверждения равносильны:

1. эквивалентны;

2. из следует, что ;

3. является некоторой степенью нормирования т. е. для всех а при фиксированном

Пусть сначала выполнено 1; докажем 2. Из следует, что стремится к нулю в смысле нормирования Но тогда должно стремиться к нулю и в смысле эквивалентного нормирования так что должно выполняться неравенство

Предположим, что имеет место 2, и докажем 3. Заметим прежде всего, что из следует в силу чего а потому и Пусть теперь произвольно фиксированный элемент из К, для которого Тогда и Пусть а — произвольный элемент из Покажем, что Пусть целые числа, для которых Тогда

Отсюда следует, что

Так как верхняя граница дробей для которых в точности равна то равным образом, так что Но тогда вполне определенное не зависящее

от а положительное число и, так как то для всех а имеем

откуда

То, что из 3 следует 1, очевидно. Таким образом, утверждения 1 и 3 равносильны.

Если К — поле с нормированием а К — поле с нормированием изоморфное полю К, то изоморфизм между называется двусторонне непрерывным или топологическим, если он отображает каждую - нуль-последовательность из К на некоторую -нуль-последовательность из К и наоборот. Поля называются в этом случае непрерывно изоморфными. В случае топологического изоморфизма сходящиеся последовательности переходят в сходящиеся, а фундаментальные — в фундаментальные. Отсюда непосредственно следует, что:

Непрерывно изоморфные нормированные поля имеют непрерывно изоморфные пополнения и

Задача 4, Показать, что среди известных нам нормирований поля рациональных чисел — а именно, абсолютного значения и -адических нормирований — любые два неэквивалентны.