§ 26. Тензорное произведение, свертка и след

Пусть некоторое -мерное векторное пространство над полем К.

Из двух векторов х и у можно следующим образом построить тензорное произведение Возьмем два переменных ковектора которые независимо друг от друга пробегают двойственное векторное пространство и построим произведение

Оно является билинейной формой от и поэтому определяет некоторый тензор

Этот тензор мы называем тензорным произведением формулой (1) он определен инвариантно. В координатах имеем:

и, следовательно,

Докажем теперь предложение:

Каждое билинейное отображение пар в какое-либо векторное пространство можно получить следующим образом: сначала нужно из каждой пары построить произведение и затем линейно отобразить пространство двухвалентных тензоров в пространство

Доказательство. Произвольное билинейное отображение В со значениями В(х, у) в пространстве можно, следуя § 24, представить формулой

где векторы из Определим линейное отображение 5 из формулой

В частности, если применить это отображение к тензорному произведению то в силу (2) получится равенство

чем и доказывается требуемое.

Добавление. Линейное отображение определяется билинейным отображением однозначно.

Доказательство. Произведения базисных векторов составляют некоторый базис в пространстве тензоров

Следовательно, если известны значения то преобразование 5 однозначно определено.

Следует еще заметить, что теорема и добавление к ней формулируются без обращения к координатам. Лишь для доказательства вводится произвольный базис

Задача. Сформулировать аналогичную теорему для полилинейного отображения

Само собой разумеется, что сформулированная выше теорема выполняется и тогда, когда векторы х и у берутся из различных векторных пространств. Пусть пространство, двойственное пространству Из произвольного вектора х из и ковектора и из можно построить тензорное произведение

Его координаты таковы:

Рассмотрим теперь билинейное отображение В, которое паре х, и сопоставляет скалярное произведение

В силу теоремы и добавления к ней существует однозначно определенное линейное отображение пространства тензоров в поле К, для которого

Приведенные выше формулы (3) и (4) дают нам средство выразить объект через координаты тензора В нашем случае формула (3) выглядит так:

поэтому формула (4) должна иметь вид

Операция 5 называется сверткой смешанного тензора Приведенное выше доказательство показывает, что свертка является операцией, инвариантной относительно выбора координатных систем.

Составим теперь из компонент рассматриваемого тензора матрицу

тогда результат свертки оказывается суммой диагональных элементов, или следом матрицы Т:

След матрицы является, следовательно, некоторым инвариантом тензора не зависящим от выбора координатных систем.

Согласно задаче 2 из § 24 тензорам с координатами взаимно однозначно сопоставляются линейные преобразования с матричными элементами Сопоставление осуществляется инвариантно с помощью формулы

Итак,

След матрицы является инвариантом линейного преобразования

Эту теорему можно также доказать непосредственно, без использования тензорного произведения. Действительно, из определения следа (7) немедленно следует, что

Положим здесь где неособая матрица; тогда получится

Согласно (22) из § 23 матрица преобразования А в произвольно выбранном новом базисе имеет Таким образом, след не зависит от выбора базиса.