§ 110. Представления симметрических групп

Мы рассматриваем группу подстановок символов найдем ее абсолютно неприводимые представления, например, над полем всех алгебраических чисел Впрочем, будет показано, что эти представления рациональны, осуществляются над полем рациональных чисел.

Будем исходить из группового кольца и рассмотрим его левые идеалы Каждый такой левый идеал является прямой суммой минимальных левых идеалов, последние дают лишь неприводимые представления Так как каждый левый идеал порождается некоторым идемпотентным элементом, мы найдем сначала эти идемпотентные элементы

Запишем цифры в произвольном порядке в расположенных друг за другом строк произвольно) так, чтобы в строке цифр удовлетворяло условиям

Мы пишем первые элементы всех строк друг под другом, точно так же и вторые элементы и следующий ниже пример, в котором точки означают цифры, поясняет сказанное

Любое такое расположение цифр мы будем называть схемой и обозначать через Индекс а обозначает последовательность цифр Индексы а, которые могут появиться при этом, упорядочиваются следующим образом. если гервая ненулевая разность положительна Например, при

Пусть дана такая схема ; обозначим через все подстановки, которые меняют цифры лишь внутри строк схемы , а сами строки оставляют инвариантными; через обозначим все те подстановки, которые меняют цифры лишь внутри столбцов схемы 2а Для каждой фиксированной подстановки символ обозначает 4 1 или —1 в зависимости от того, четна или нет Если произвольная подстановка, то через мы обозначаем схему, в которую переходит при действии подстановки Легко заметить, что если подстановка оставляет инвариантными столбцы схемы 2а, то подстановка оставляет инвариантными столбцы схемы и наоборот Наконец, положим (в групповом кольце с) для каждой фиксированной схемы 2а

Легко проверяются правила

Из (2) и (3) легко следует, что идемпотентны с точностью до некоторого множителя Дальнейшие алгебраические свойства элементов вытекают из следующей комбинаторной леммы:

Пусть две схемы указанного выше типа; пусть Если в ни в одной строке нет двух цифр, входящих в один столбец схемы то и схема переходит в схему с помощью подстановки вида

(Обозначения относятся к , т. е. оставляет инвариантными строки, столбцы схемы

Доказательство. Из следует, что В первой строке схемы стоит о цифр. Так как те же самые цифры должны в стоять в различных столбцах, схема содержит не менее строк, откуда следовательно, С помощью некоторой подстановки оставляющей инвариантными столбцы в указанные цифры переходят в первую строку схемы

Из а следует далее, что Во второй строке схемы стоит цифр. Так как они должны входить в разные столбцы схемы в последней вне первой строки, которую мы уже построили, должно быть не менее столбцов. Отсюда следует, что и поэтому С помощью некоторой подстановки оставляющей инвариантными столбцы схемы а также ее первую строку, названные цифры переводятся во вторую строку схемы

Продолжая таким образом, мы в конце концов получим схему строки которой совпадают со строками схемы . Тем самым с помощью некоторой подстановки схему можно перевести в схему

Подстановка оставляет инвариантными столбцы схемы а потому и схемы При подходящей подстановке выполняется, следовательно, равенство

и поэтому

что и требовалось доказать.

Из этой комбинаторной леммы всегда следует, что

Действительно, согласно лемме, в случае существует пара цифр, принадлежащая одной строке схемы и одному столбцу схемы Если транспозиция, меняющая местами эти цифры, то из (2) и (3) следует, что

откуда и получается (4).

Точно так же доказывается, что

Кроме того, все выражения, получающиеся из сопряжением, аннулируются суммой

потому что это снова некоторое но для преобразованной схемы Из этого результата с помощью умножения на и суммирования по всем

из следует, что

или

Таким образом, левые идеалы аннулируются элементом Иначе говоря, элемент представляется нулем в том представлении, которое определяется идеалом Вместе с тем потому что коэффициент при единичном элементе в произведении не равен нулю. Следовательно, элемент в представлении, связанном с идеалом представляется отличным от нуля преобразованием. По этой причине упомянутое представление содержит по крайней мере одну неприводимую составляющую, не входящую ни в один из модулей при Рассмотрим ее подробнее.

Элемент согласно (2) и (3), удовлетворяет равенству

Докажем теперь, что является единственным с точностью до множителя элементом с таким свойством. Точнее, мы докажем следующее: если элемент а кольца в удовлетворяет равенству

для всех то он имеет вид Доказательство. Положим

Подставляя (7) в (6), получим

В левую часть последнего равенства входит лишь одно слагаемое с именно аналогично в правую часть входит также одно слагаемое при Сравнение коэффициентов дает

Выберем теперь любую подстановку отличную от подстановок, имеющих вид Тогда схема отлична от всех схем согласно комбинаторной лемме, существуют две цифры которые в находятся в одной строке, а в в одном столбце. Если транспозиция этих цифр: то подстановка меняет местами лишь цифры которые стоят в одном столбце таблицы Следовательно, это подстановка вида подстановка вида и мы можем в (8) положить тогда для выбранной выше подстановки имеем

и сравнение слагаемых с слева и справа в (8) дает нам

Следовательно, в (7) входят лишь слагаемые с и имеет место равенство

что и требовалось доказать

Из доказанного немедленно следует, что для каждого элемента кольца элемент имеет вид потому что для любых справедливс

равенство

Следовательно,

Положим тогда

Мы утверждаем теперь, что минимальный левый идеал. Действительно, если подидеал в то из (9) следует, что

следовательно, так как одночленный, а потому минимальный -модуль, имеет место одно из равенств

В первом случае в силу чего Во втором же случае так как нет нильпотентных идеалов, отличных от (0), получается равенство

Минимальные левые идеалы и при не являются операторно изоморфными. Действительно, в силу (5) при выполняются соотношения

следовательно, для любого а из имеем

Если бы было то для каждого а из было бы

однако для это не так, потому что

Каждому левому идеалу соответствует некоторое неприводимое представление а согласно сделанным выше замечаниям, эти представления при различных а неэквивалентны.

Число так отыскиваемых представлений равно числу решений задачи (1). Одновременно это число равно и числу классов сопряженных подстановок, потому что каждый такой класс состоит из всех элементов, распадающихся на циклы длины а все эти длины можно упорядочить в соответствии с условием (1). Так как число всех неэквивалентных неприводимых представлений задается числом классов сопряженных подстановок, то этим показано, что представлениями исчерпываются все неприводимые представления симметрических групп

Введенные выше левые идеалы определены над рациональными числами. Отсюда следует рациональность неприводимых представлений (как и характеров).