§ 122. Однократные идеалы

Пусть опять — нетерово кольцо с единицей.

Единичный идеал , конечно, является простым. Какие примарные идеалы могут быть с ним ассоциированы? Ответ таков: лишь само кольцо потому что если произвольный из ассоциированных с примарных идеалов, то откуда

Если в такой ситуации некоторое представление идеала пересечением примарных идеалов таково, что среди ассоциированных примарных идеалов есть единичный идеал, то соответствующий ему идеал также равен о и поэтому в представлении пересечением может быть сокращен. Следовательно,

если представление а несократимо и , то единичный идеал не входит в число ассоциированных простых идеалов.

Отсюда немедленно следует предложение:

Каждый идеал обладает по крайней мере одним простым делителем Если идеал а не является примарным, то у него есть по крайней мере два простых делителя, отличных от .

Идеал, у которого не более одного отличного от простого делителя, называется однократным (по Дедекинду). В соответствии с последней теоремой каждый однократный идеал примарен. Кроме того, ассоциированный с ним простой идеал обязательно не имеет делителей, потому что если бы был собственным делителем идеала то а в свою очередь обладал бы простым делителем который был бы собственным делителем идеала значит, идеал обладал бы двумя различными и отличными от о простыми делителями что противоречит предположенной однократности идеала

Имеем

Из соотношения (1) следует, что если свободен от делителей, то идеал однократен. Действительно, в этом случае для любого простого делителя идеала из (1) следует, что

откуда

и, следовательно, либо либо Таким образом, идеал не имеет простых делителей, отличных от

Итак, равносильны следующие понятия:

1) однократный идеал;

2) примарный идеал, ассоциированный с простым идеалом, не имеющим делителей;

3) делитель некоторой степени простого идеала не имеющего делителей.

Далее имеет место предложение:

Пусть идеал обладает изолированной однократной примарной компонентой а, V — ассоциированный простой идеал этой компоненты, ее показатель; тогда для любого целого числа имеем

Доказательство. Из

и

следует, что

Пусть, с другой стороны,

— некоторое представление идеала примарными компонентами. Идеал однократный, а потому примарный. Ассоциированным простым идеалом служит идеал Произведение делится на Однако произведение не делится на у, так как, по условию, изолированная компонента. Следовательно, идеал должен делиться на

Из (3) и (4) следует (2). Следствие. Для

таким образом,

Для соотношение (5) не выполняется. Действительно, если бы было

для некоторого то умножением на можно было бы получить

что противоречит определению показателя

Показатель идеала является, таким образом, наименьшим числом а, для которого выполнено соотношение (5).

Существуют целостные кольца о с единицей, в которых (имеет место теорема о цепях делителей и) каждый отличный от нуля простой идеал не имеет делителей. Например, к числу таких колец относятся кольца главных идеалов (ср. § 18), а также определяемые ниже «порядки» в числовых и функциональных полях; типичный пример — кольцо Теория идеалов этих колец особенно проста. Прежде всего, здесь все примарные идеалы, кроме нулевого, однократны. Далее, любые два отличных от нуля и друг от друга простых идеала в этом случае взаимно просты. Отсюда следует, что ассоциированные примарные идеалы для различных ненулевых простых идеалов также взаимно просты. Наконец, примарные компоненты любого идеала изолированы и, таким образом, однозначно определены. Итак: каждый ненулевой идеал однозначно представляется в виде пересечения попарно взаимно простых однократных примарных идеалов. Согласно § 121 это

пересечение равно произведению

В кольцах главных идеалов примарные идеалы равны степеням простых идеалов. В общем случае это верно при некотором условии, с которым мы познакомимся позже, — условии «целозамкнутости».