§ 165. Т-кольца и Т-тела
Топологическое кольцо (кратко —
-кольцо) — это топологическое пространство, которое одновременно является кольцом, причем
являются непрерывными функциями своих аргументов. Вместо этого можно предполагать, что
непрерывные функции от х и у. Следовательно:
TR. Для каждой окрестности
существуют окрестности
и
такие, что все разности элементов из
и из
принадлежат
.
TR2. Для каждой окрестности
существуют окрестности
и
такие, что все произведения элементов из
и
принадлежат
При определении
-тела требуется, кроме того, чтобы
было непрерывной функцией от х, т. е. следующее условие:
TS. Для каждой окрестности
существует окрестность
такая, что элементы, обратные к содержащимся в ней элементам, принадлежат
Если выполнена аксиома
то говорят, что топология кольца является топологией тела.
Разумеется, коммутативные
-тела называются
-полями.
Всякое кольцо является абелевой группой относительно сложения. Чтобы определить топологию на этой группе, согласно § 162 достаточно определить базис окрестностей
нуля,
который удовлетворял бы условиям 1, 2 и 3 (§ 163). Чтобы умножение также было непрерывно, нужно потребовать следующее:
4. Для
существуют такие
что
Топологическое тело должно, кроме того, удовлетворять следующему условию, эквивалентному
Для элемента, отличного от нуля, и окрестности
существует такая окрестность V, что
Можно положить
так что
Тогда из (1) будет следовать, что
или
Поэтому достаточно устанавливать справедливость условия (1) только для
Следовательно, аксиома
эквивалентна следующему условию:
5. Для каждой окрестности
нуля существует другая окрестность V нуля такая, что
Примерами
-полей могут служить нормированные поля и, в частности, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел или поле
-адических чисел, а также их всевозможные подполя.
Топологическим кольцом является и кольцо всех вещественных
-матриц. Базис окрестностей нуля состоит в этом случае из множеств
состоящих из матриц, элементы которых по абсолютной величине меньше заданного положительного числа
Дальнейшие условия получаются при рассмотрении в произвольном кольце с некоторой последовательности двусторонних идеалов, содержащихся друг в друге,
эти идеалы можно принять за базис окрестностей нуля. Условия 1—4 тогда будут выполнены. Топологическое Т-кольцо получается при такой конструкции тогда, когда пересечение всех
равно нулю.
Топологию кольца, определенную с помощью последовательности
называют
-адической топологией. Если, в частности,
— это степени некоторого простого идеала
в коммутативном колеце
: