§ 165. Т-кольца и Т-тела

Топологическое кольцо (кратко — -кольцо) — это топологическое пространство, которое одновременно является кольцом, причем являются непрерывными функциями своих аргументов. Вместо этого можно предполагать, что непрерывные функции от х и у. Следовательно:

TR. Для каждой окрестности существуют окрестности и такие, что все разности элементов из и из принадлежат .

TR2. Для каждой окрестности существуют окрестности и такие, что все произведения элементов из и принадлежат

При определении -тела требуется, кроме того, чтобы было непрерывной функцией от х, т. е. следующее условие:

TS. Для каждой окрестности существует окрестность такая, что элементы, обратные к содержащимся в ней элементам, принадлежат

Если выполнена аксиома то говорят, что топология кольца является топологией тела.

Разумеется, коммутативные -тела называются -полями.

Всякое кольцо является абелевой группой относительно сложения. Чтобы определить топологию на этой группе, согласно § 162 достаточно определить базис окрестностей нуля,

который удовлетворял бы условиям 1, 2 и 3 (§ 163). Чтобы умножение также было непрерывно, нужно потребовать следующее:

4. Для существуют такие что

Топологическое тело должно, кроме того, удовлетворять следующему условию, эквивалентному

Для элемента, отличного от нуля, и окрестности существует такая окрестность V, что

Можно положить так что Тогда из (1) будет следовать, что

или

Поэтому достаточно устанавливать справедливость условия (1) только для Следовательно, аксиома эквивалентна следующему условию:

5. Для каждой окрестности нуля существует другая окрестность V нуля такая, что

Примерами -полей могут служить нормированные поля и, в частности, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел или поле -адических чисел, а также их всевозможные подполя.

Топологическим кольцом является и кольцо всех вещественных -матриц. Базис окрестностей нуля состоит в этом случае из множеств состоящих из матриц, элементы которых по абсолютной величине меньше заданного положительного числа

Дальнейшие условия получаются при рассмотрении в произвольном кольце с некоторой последовательности двусторонних идеалов, содержащихся друг в друге,

эти идеалы можно принять за базис окрестностей нуля. Условия 1—4 тогда будут выполнены. Топологическое Т-кольцо получается при такой конструкции тогда, когда пересечение всех равно нулю.

Топологию кольца, определенную с помощью последовательности называют -адической топологией. Если, в частности, — это степени некоторого простого идеала в коммутативном колеце :

то говорят о -адической топологии. Позднее мы увидим, что во многих важных случаях пересечение степеней идеала равно нулевому идеалу. Во всех таких случаях, следовательно, имеет место аксиома отделимости

В § 141 последовательность степеней простого идеала была при более сильных условиях использована для определения некоторого нормирования кольца с. Однако если не предполагается рассматривать нормирование, а имеется в виду лишь топология на кольце, то эти более сильные условия излишни.

(см. скан)