§ 103. Поведение алгебр при расширении основного поля

Пусть — полупростая алгебра над основным полем Мы собираемся выяснить, как ведет себя при расширении основного поля до некоторого поля какие свойства алгебры сохраняются, а какие могут утратиться. Исследование будет вестись так: сначала будет полем, затем — телом, затем — простой

алгеброй и, наконец, — полупростой алгеброй, причем в каждом последующем случае будет использоваться предыдущий. Все рассматриваемые кольца должны обладать единицей.

1. Если — сепарабельное конечное расширение поля то алгебра не имеет радикала, каким бы ни было поле наоборот, если расширение несепарабельно, то при подходящем выборе поля в алгебре появляется ненулевой радикал.

Доказательство. Если расширение сепарабельно, — примитивный элемент расширения (§ 46) и неразложимый многочлен, обращающийся в нуль на , то соответствии с § 39, обозначая через степень многочлена имеем

а потому при расширении основного поля получается

Так как не имеет кратных множителей и в то не существует многочлена какая-либо степень которого делилась бы на а сам он на не делился, т. е. в фактор-кольце не существует нильпотентных элементов, отличных от нуля. Согласно § 98 (теорема 8) радикал алгебры состоит из нильпотентных элементов, о которых только что упоминалось. Так как, кроме нуля, таковых нет, радикал равен нулю, т. е. алгебра полупроста.

Если расширение несепарабельно и — какой-нибудь несепарабельный элемент из , то обладает подполем а подкольцом которое, как и выше, изоморфно факторкольцу При подходящем выборе расширения многочлен имеет кратные множители в и в кольце существует многочлен который сам не делится на но некоторая степень его делится на Тем самым в кольце существует ненулевой нильпотентный элемент, а потому таковой есть и в ; следовательно, этот нильпотентный элемент порождает в некоторый нильидеал, потому что в коммутативном кольце любой нильпотентный элемент порождает нильидеал. Теорема доказана.

Поскольку роли полей взаимно заменимы, первую часть теоремы можно сформулировать так: если по крайней мере одно из полей или имеет конечную степень и сепарабельно над то алгебра полупроста. Так как, кроме того, алгебра коммутативна, отсюда следует: является прямой суммой полей (ср. § 102, задача 3).

2. Перейдем теперь к случаю, когда — некоторое тело К. Этот случай сводится к коммутативному на основе следующей редукционной теоремы:

Если К — тело над полем с центром — некоторая алгебра над и если то каждый двусторонний идеал в кольце порождается некоторым двусторонним идеалом из

Редукционная теорема будет наилучшим образом восприниматься, если ее обобщить и высказать как некоторую теорему о модулях:

Пусть К — тело, обладающее некоторыми автоморфизмами а. Пусть некоторый -модуль конечного ранга:

Автоморфизмы а тела К индуцируют автоморфизмы модуля определяемые равенством

Тогда утверждается: любой подмодуль а модуля выдерживающий автоморфизмы а, обладает -базисом, элементы которого остаются неподвижными при этих автоморфизмах.

Доказательство. Если некоторый -базис подмодуля а, то его можно дополнить несколькими элементами скажем, до -базиса всего модуля Каждый элемент из сравним по модулю а с некоторой линейной формой от с коэффициентами из К. В частности, для имеет место сравнение

Положим

Тогда формы линейно независимые элементы модуля а: ведь любое линейное соотношение между приводит к такому же соотношению между а последние элементы независимы. Тем самым, элементы составляют некоторый -базис в а. Если к применить автоморфизм а, то получится

Элементы вновь должны принадлежать модулю а, а потому быть линейными комбинациями исходных элементов

Сравнивая (1) и (2), получаем: все а, должны быть равны О, кроме Тем самым что и утверждалось.

Чтобы получить редукционную теорему из теоремы о модулях, нужно лишь в качестве упоминавшихся в теореме о модулях автоморфизмов взять внутренние автоморфизмы тела К. Преобразование посредством действует на сумму следующим образом: элементы оно оставляет неподвижными, а элементы переводит в Любой двусторонний идеал а в произведении является также и двусторонним -модулем, а потому допускает автоморфизмы Таким образом, идеал а обладает базисом, состоящим из таких элементов которые при преобразовании переходят в себя, т. е. коэффициенты которых принадлежат центру тела К. Но эти же базисные элементы принадлежат и чем и доказывается редукционная теорема.

Дополнение. Редукционная теорема сираведлива и тогда, когда вместо берется произвольное тело в предположении, что К имеет конечный ранг над Действительно, если а — двусторонний идеал алгебры , то идеал а, как и алгебра имеет конечный ранг над а потому и конечный -базис Базисные элементы, выраженные в форме 2 содержат лишь конечное число элементов которые порождают конечный подмодуль произведению и его подмодулю а можно в таком случае применить теорему о модулях и найти базис для т. е. базис идеала а, который остается инвариантным относительно внутренных автоморфизмов тела К и, следовательно, принадлежит кольцу

Начиная с этого места, будут алгебрами с делением над полем или, в частности, расширениями поля Из редукционной теоремы непосредственно следует утверждение:

Если алгебра проста, то проста и алгебра Если алгебра полупроста, т. е. является прямой суммой простых алгебр, то является прямой суммой такого же числа простых алгебр, т. е. снова полупростой алгеброй.

Подобно тому как можно заменить кольцо К на его центр кольцо можно заменить на его собственный центр. Таким образом, имеет место предложение:

Если произведение центров тел простое или полупростое, то простое или соответственно полупростое. В частности, произведение полупросто тогда, когда один из центров сепарабелен над

Если алгебра К центральна над т. е. то произведение является алгеброй с делением, а потому простой. Мы получили утверждение:

Если одно из тел К или центрально над то алгебра проста.

3. Переход от алгебр с делением к простым алгебрам, т. е. к полным матричным кольцам осуществить легко. Если произвольное тело над то

Когда полупростая алгебра, т. е. прямая сумма полных матричных колец, для получения алгебры все эти матричные кольца нужно умножить на т. е. умножить порядок матриц на Что касается простоты или полупростоты произведения то здесь ничего не меняется.

Центр алгебры равен центру тела К. Поэтому справедлив следующее предложение:

Если центр алгебры сепарабелен над то алгебра полупроста. Если алгебра центральна над т. е. то алгебра проста, как бы ни выбиралось тело

Из добавления к редукционной теореме следует, что последний результат имеет место и для тел бесконечной степени над

4. Любая полупростая алгебра 94 является суммой простых алгебр Если каждое из слагаемых умножить на А, то получится произведение . В частности, выберем в качестве А поле; тогда получится следующее предложение:

Полупростая алгебра остается полупростой при любом сепарабельном расширении основного поля. Если центры простых алгебр сепарабельны над то полупростота сохраняется при любом расширении основного поля.

5. Мы видели, что поведение простой алгебры при расширении основного поля полностью зависит от поведения лежащего в основе этой алгебры тела. Исследуем теперь поведение центральных алгебр с делением несколько подробнее.

Согласно доказанному в п. 3, любая центральная алгебра с делением при любом расширении основного поля остается центральной и простой. При этом она не обязана оставаться телом, а может перейти в некоторое матричное кольцо над телом. В этом случае мы говорим, что расширение основного поля приводит к разложению алгебры с делением (а именно — к разложению на простые левые идеалы).

Покажем теперь, что: если центральная алгебра с делением, то всегда существуют расширения основного поля, которые приводят к разложению данной алгебры.

Действительно, пусть — элемент тела К, не принадлежащий полю тогда некоторый неразложимый многочлен из обращается в нуль на . В подходяще выбранном поле А многочлен разлагается на множители; например, можно выбрать и тогда от отщепится линейный множитель.

В соответствии с доказанным выше имеет место изоморфизм поэтому кольцо имеет делители нуля и, следовательно, таковые имеются в кольце содержащем кольцо Значит, кольцо не явтяется телом, так что оно может быть только матричным кольцом

Если сравнить ранги левой и правой частей равенства над полем то получится:

где через обозначается ранг тела К над полем

Таким образом, ранг тела К над А меньше, чем ранг тела К над Если то дальнейшим расширением поля можно получить и разложение тела К. Кольцо К, перейдет тогда в матричное кольцо порядка Продолжая таким образом, мы непременно придем к концу, потому что ранги получающихся тел все время уменьшаются. В итоге произойдет полное разложение и алгебра с делением К превратится в матричное кольцо над полем :

Поле благодаря которому получается этот изоморфизм, называется полем разложения тела К. Приведенное выше доказательство показывает, что всегда существует поле разложения конечной степени над Последнее соотношение между рангами превращается теперь в равенство

Таким образом, ранг алгебры с делением К над ее центром всегда являепхя квадратом натурального числа. Число порядок матриц над полем разложения — называется индексом алгебры с делением К.

Поле разложения тела К является полем разложения и алгебры и наоборот, потому что и являются полными матричными кольцами над одним и тем же телом.

(см. скан)