§ 22. Линейные уравнения над телом

В качестве подготовки к вопросу о решении системы линейных уравнений мы рассмотрим линейное подпространство размерности в двойственном пространстве 2). Согласно § 20 произвольный базис подпространства можно дополнить до некоторого базиса пространства Согласно § 21 в исходном векторном пространстве существует базис двойственный базису потому что является двойственным пространству 2).

Будем теперь искать такие векторы X пространства скалярное произведение которых со всеми ковекторами и из (I равно нулю:

Для этого достаточно, чтобы выполнялись линейных равенств:

Если х выразить через базисные векторы и принять во внимание соотношения (5) из § 21, то легко показать, что (2) эквивалентно условию

Следовательно, искомые векторы х имеют вид

где произвольные коэффициенты. В пространстве эти векторы составляют некоторое линейное подпространство

размерности Оно порождается базисными векторами

Обратно, рассмотрим подпространство как заданное с самого начала и будем искать те ковекторы и, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми векторами из в этом случае получится в точности пространство ковекторов Мы получили предложение:

Существует взаимно однозначное соответствие между подпространствами размерности пространства и подпространствами размерности в определяемое следующим образом: состоит из векторов, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми ковекторами из состоит из ковекторов, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми векторами из

Перейдем теперь к теории линейных уравнений. Пусть сначала заданы однородных линейных уравнений с неизвестными

Мы рассматриваем как координаты некоторого вектора х пространства . С учетом этого обстоятельства уравнения (4) можно переписать в виде

где ковектор с координатами Если один из ковекторов линейно зависим от остальных, то соответствующее уравнение можно опустить. В конце концов получится система из независимых уравнений (5). Линейно независимые ковекторы а, порождают в двойственном пространстве 2) некоторое -мерное подпространство . В таком случае решения системы (4) составляют в точности ортогональное ему подпространство в пространстве

Число независимых уравнений (5) или независимых ковекторов называется рангом системы уравнений. Таким образом, имеет место теорема:

Решения х однородной системы линейных уравнений ранга составляют в некоторое -мерное подпространство т. е. существует линейно независимых решений от которых линейно зависят все решения системы.

Чтобы получить решения уравнений (4) эффективно, применяют известный метод последовательного исключения, который приводит к цели и в случае неоднородных уравнений

Если в каком-либо уравнении все коэффициенты равны нулю, то либо и уравнение противоречиво, либо и уравнение можно опустить. Если же одно из неизвестных в каком-либо уравнении имеет ненулевой коэффициент, то его можно из этого уравнения Еыразить через прочие неизвестные и подставить во все остальные уравнения. Продолжая таким образом, мы либо придем к противоречию после нескольких шагов, либо некоторые из неизвестных, скажем, выразим через остальные, причем остальные могут потом уже выбираться произвольно.

Если данная система уравнений однородна (все ), то у нее обязательно есть нулевое решение Другие (нетривиальные) решения существуют в точности тогда, когда ранг системы меньше

(см. скан)