Глава двенадцатая. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Линейная алгебра занимается модулями и их гомоморфизмами, в частности, векторными пространствами и их преобразованиями. В качестве приложения теории модулей в § 86 будет получена основная теорема об абелевых группах. В § 90 речь идет о квадратичных формах, в антисимметрических билинейных формах.

Двенадцатая глава целиком опирается на теорию групп с операторами (глава 7).

§ 84. Модули над произвольным кольцом

Пусть произвольное кольцо с единицей любой правый -модуль, т. е. аддитивная группа с областью операторов Элементы из будут обозначаться латинскими буквами, а из греческими. Правила оперирования состоят из соответствующих правил в аддитивной группе и еще следующих:

Из законов дистрибутивности, как обычно, следуют аналогичные законы для вычитания, мультипликативные свойства символа «минус», а также тот факт, что произведение равно нулю, если в нем участвует нулевой сомножитель (будь то нуль из или из

Мы записываем операторы справа, однако это дело соглашения. Все доказываемые ниже теоремы остаются верными и тогда, когда операторы стоят слева.

Единица кольца № не обязана быть единичным оператором: элемент для некоторых а может быть отличным от а. (Примером тому служит правило оперирования для всех а и для всех к.) Однако всегда имеет место равенство

Первое слагаемое здесь аннулируется справа множителем а второе сохраняется при таком умножении на Все первые слагаемые в равенстве (1) образуют некоторый подмодуль аннулируемый элементом следовательно, всеми элементами

ел из вторые же слагаемые образуют подмодуль на котором единица служит единичным оператором. Общим элементом этих двух модулей может быть только нуль, потому что любой другой элемент не может одновременно аннулироваться и сохраняться единицей данного кольца. Таким образом, представление (1) показывает, что модуль является прямой суммой После того как из модуля исключается не интересная для дальнейшего часть остается лишь модуль, на котором является единичным оператором. По этой причине мы в последующем постоянно предполагаем, что единица кольца является одновременно и единичным оператором модуля .

Если, в частности, кольцо является телом, то представляет собой векторное пространство над в смысле § 19.

Модуль называется конечным над кольцом если его элементы могут быть линейно выражены через конечное число элементов в виде

В этом случае является суммой подмодулей

Вместо (3) иногда кратко пишут:

Если в представлении (2) коэффициенты однозначно определяются элементом и, то называется модулем линейных форм над В этом случае сумма (3) является прямой:

Каждое конечномерное векторное пространство является модулем линейных форм, потому что согласно § 19 в этом случае всегда можно выбрать базис Согласно § 20 размерность не зависит от выбора базиса.

Операторный гомоморфизм, отображающий модуль линейных форм в модуль линейных форм называется линейным преобразованием в Для каждого такого преобразования А, по аналогии со сказанным в § 23, имеют место равенства:

Преобразование А определено однозначно, если задан образ каждого порождающего элемента

Коэффициенты составляют матрицу преобразования А.

Если - взаимно однозначное отображение модуля на модуль то существует обратное отображение Для него

где символ 1 обозначает тождественное преобразование. В этом случае отображение и его матрица называются обратишьши.

Линейное преобразование А и его матрицу мы часто будем обозначать одной и той же буквой Это не вполне логично, но зато удобно.