§ 166. Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей

В § 142 для каждого нормированного поля было построено его расширение, в котором выполнялась теорема Коши о сходимости. Вспомогательным средством при этом служили фундаментальные последовательности которые характеризовались тем, что при достаточно больших принадлежат произвольной окрестности нуля. Проведем теперь аналогичную конструкцию для -групп, следуя методу Данцига.

Последовательность в некоторой -группе называется последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью, если произвольная окрестность единичного элемента группы содержит элементы при

Топологическая группа называется слабо полной, если каждая фундаментальная последовательность в ней имеет в ней же предел.

Зададимся теперь следующей целью: расширить произвольную -группу, удовлетворяющую аксиомам до некоторой слабо полной -группы.

Доказательством следующей леммы я обязан Г. Р. Фишеру. Окрестности единицы, как и раньше, будут обозначаться через

Лемма. Пусть — произвольная фундаментальная последовательность. Тогда для каждого существуют такое натуральное

и такое V, что

Доказательство. Выберем окрестность так, чтобы Выберем далее так, чтобы было

Тогда, в частности, принадлежат при Согласно окрестность У можно выбрать внутри Тогда

Из этой леммы следует:

I. Если фундаментальные последовательности, то и фундаментальная последовательность.

Доказательство. Имеем

В произведении справа оба сомножителя принадлежат сколь угодно малым окрестностям единицы первый сомножитель в силу леммы, а второй в силу определения фундаментальной последовательности. Следовательно, произведение тоже принадлежит сколь угодно малой окрестности единицы Последовательность называется произведением фундаментальных последовательностей

Вот другое следствие доказанной леммы:

II. Если фундаментальная последовательность и стремится к единице, то и

стремится к единице.

Доказательство. Согласно лемме при подходящем У и достаточно больших принадлежит У при достаточно больших так что принадлежит для достаточно больших

Для того чтобы группа могла быть расширена до некоторой слабо полной топологической группы, необходимо, чтобы имела место следующая аксиома слабой пополняемое и:

TG3. Если произвольная фундаментальная последовательность, то и фундаментальная последовательность.

В абелевой группе аксиома выполнена автоматически, потому что если принадлежит то и

принадлежит В общем же случае аксиома не является следствием остальных аксиом.

Из немедленно следует, что фундаментальные

последовательности образуют некоторую группу Единичным элементом этой группы является последовательность

Превратим теперь группу в топологическую, определив базисные окрестности единичного элемента следующим образом: состоит из фундаментальных последовательностей элементы которых при достаточно больших принадлежат

Эти окрестности удовлетворяют требованиям (§ 163). Для это само собой очевидно, а это в точности доказанная выше лемма: если фундаментальная последовательность, то существует окрестность V такая, что

для достаточно больших

Итак, топологическая группа. В этой группе последовательности, сходящиеся составляют подгруппу, которая в силу II является даже некоторой нормальной подгруппой Докажем теперь, что подгруппа замкнута в

Если фундаментальная последовательность не принадлежит т. е. не сходится к то существует некоторая окрестность которая не содержит почти всех элементов данной последовательности. Согласно существует такая окрестность V, что

Эта окрестность V определяет некоторую окрестность состоящую из всех фундаментальных последовательностей почти все элементы у которых принадлежат Мы утверждаем теперь, что окрестность последовательности полностью содержится в дополнении к в группе

Действительно, иначе содержала бы фундаментальную последовательность

принадлежащую где почти все лежат в сходится к Но тогда почти все лежат в V, и почти все элементы

принадлежат потому и окрестности что противоречит определению окрестности Следовательно, не имеют общих элементов.

Таким образом, дополнение к является открытым множеством, т. е. замкнутое множество в Отсюда в силу § 164 следует, что является -группой.

Внутри группы фундаментальные последовательности состоящие из одного и того же элемента а, составляют некоторую подгруппу топологически изоморфную данной группе

В силу аксиомы отделимости эта подгруппа имеет только один общий с элемент Мы можем отождествить постоянные последовательности с элементами а и тем самым группу с группой Если теперь построить смежные классы по то перейдет в некоторую факторгруппу которая является подгруппой в следовательно, некоторой -группой. Эта -группа топологически изоморфна а потому и и поэтому вновь может быть отождествлена с

Положим Группа вложена в Тггруппу Докажем прежде всего следующее:

III. Если фундаментальная последовательность определяет элемент х из то

Доказательство. Фундаментальная последовательность как элемент группы будет обозначаться через х. При гомоморфизме, который отображает на элемент х переходит в элемент х. Это отображение непрерывно, поэтому (2) будет доказано, как только будет доказано соответствующее соотношение в

Соотношение (3) означает, что принадлежит для достаточно больших или, согласно определению окрестности длгц принадлежит для достаточно больших

Но это очевидно, потому что фундаментальная последовательность.

Теперь мы можем доказать основную теорему:

IV. Группа слабо полна.

Доказательство совершенно аналогично проведенному в § 78 доказательству для случая вещественных чисел. Пусть некоторая последовательность элементов из удовлетворяющая условию Коши:

Выберем счетный базис окрестностей точки в группе Для каждой окрестности выберем окрестность такую, что

Мы можем, кроме того, считать, что

Окрестности определяют окрестности в а эти в свою очередь — окрестности в Каждый элемент является, согласно III, пределом некоторой последовательности элементов

из следовательно, для х мы можем выбрать такой у из что

Покажем, что элементы составляют фундаментальную последовательность. Имеем

Для каждого к существует такое тк, что

Из (4) для теперь следует, что

т. е. Следовательно, составляют некоторую фундаментальную последовательность в группе Эта последовательность определяет некоторый элемент у из согласно III, имеет своим пределом у. Элементы имеют тот же самый предел, потому что

и для достаточно больших оба множителя принадлежат сколь угодно малым окрестностям точки Таким образом, последовательность имеет в некоторый предел и группа оказывается слабо полной.

T-группы, не удовлетворяющие первой аксиоме счетности при некоторых подходящих предположениях также могуг быть пополнены. Для этого, следуя Бурбаки, нужно как при определении понятия «полноты», так и при конструкции пополнения вместо фундаментальных последовательностей рассматривать так называемые фильтры Коши. Ниже об этом говорится более подробно.

(см. скан)