§ 24. Тензоры
Пусть 
некоторое 
-мерное векторное пространство и 
его базис над полем 
Векторы пространства 
представляются, следовательно, в виде
Рассмотрим билинейные формы 
со значениями в К, т. е. функции от двух векторов 
со следующими свойствами:
Билинейная форма 
оказывается заданной, как только заданы значения
Действительно, в этом случае
где суммирование ведется по всем 
от 1 до 
Элементы 
называются координатами билинейной формы 
Выберем 
в основном поле 
произвольно; тогда форма, определенная с помощью (7), обязательно обладает свойствами 
Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и системами из 
их координат 
Подобно рассмотренным в § 21 линейным формам билинейные формы можно складывать и умножать на константы из 
. Билинейные формы составляют векторное пространство размерности 
Элементы этого векторного пространства называются также тензорами, а точнее, — ковариантными двухвалентными тензорами. Мы обозначаем эти тензоры через 
и вместо 
пишем 
Согласно (7) в этом случае
При желании разделительную точку можно отбросить и писать просто 
Аналогично можно ввести в рассмотрения полилинейные формы или ковариантные тензоры произвольной валентности:
причем эти формы линейны как по х, так и по 
Их коэффициенты таковы:
и
Двойственным образом строятся контравариантные тензоры, т. е. полилинейные формы, аргументы которых являются ковекторами 
например,
Ковариантные одновалентные тензоры — это в точности ковекторы, а контравариантные одновалентные тензоры взаимно однозначно соответствуют векторам х пространства 
По этой причине ковекторы и векторы называют также, еле. дуя Эйнштейну, ковариантными и контравариантными векторами.
Наконец, можно рассматривать смешанные тензоры 
Они определяются через полилинейные формы, аргументы которых являются векторами и ковекторами в произвольном числе; например,
(см. скан)
