§ 113. Поля разложения простых алгебр

Любая простая алгебра может рассматриваться как полное матричное кольцо над некоторой алгеброй с делением К:

Согласно § 103 поля разложения тела К являются в то же время полями разложения и для и наоборот. Поэтому при

изучении полей разложения можно ограничиться лишь полями разложения тел К. Далее, центр тела К можно рассматривать как основное поле тогда К — центральная алгебра над

Согласно § 112 максимальные подполя в К являются полями разложения для К. Следовательно, существует поле разложения 2 конечной степени над Мы ограничимся поэтому рассмотрением лишь конечных расширений 2 основного поля

Согласно § 112 каждое такое поле 2 неприводимым образом погружается в алгебру Поэтому можно рассматривать 2 как неприводимую систему матриц из Если -поле разложения алгебры К, то это означает, что является полным матричным кольцом над :

Инверсное кольцо А в таком случае тоже равно . Следовательно, централизатор поля равен , т. е. любой элемент из перестановочный со всеми элементами из , принадлежит самому полю . Отсюда следует, что — максимальное подполе (даже максимальное коммутативное подкольцо) в

Обратно, пусть — максимальное подполе матричного кольца Если бы система 2 была приводимой, то согласно (4) из § 112 матрицы А системы 2 можно было бы получить из частей Эти части образуют некоторую систему изоморфную системе 2, которая тоже максиматьна как подполе в Следовательно, без ограничения общности мы можем рассматривать 2 как неприводимую систему.

Централизатор А поля 2 является телом, элементы которого перестановочны со всеми элементами из 2. Если бы один из таких элементов не содержался в 2, то расширение собственным образом содержало бы поле 2, а это противоречит максимальности поля Следовательно, должно иметь место равенство Но тогда т. е. — поле разложения алгебры К.

Тем самым мы получили следующее описание полей разложения:

Каждое максимальное подполе полного матричного кольца является полем разложения тела обратно, каждое поле разложения можно представить как максимальное подполе в алгебре К, (даже неприводимым образом).

В случае неприводимого вложения поля 2 в алгебру согласно (3) § 112, имеет место соотношение между рангами:

Здесь является степенью абсолютно неприводимого представления тела К над полем 2, т. е. число равно индексу тела К.

Следовательно,

Отсюда получается: степень поля разложения 2 алгебры К делится на индекс тела К. Максимальное подполе в К является полем разложения наименьшей возможной степени

В заключение мы докажем следующую теорему:

Любая центральная алгебра с делением К над полем обладает по крайней мере одним сепарабельным полем разложения.

Для доказательства потребуется

Лемма. Любая -строчная матрица А над полем характеристики удовлетворяющая уравнению вида

имеет характеристический многочлен (см. § 89) вида

и, следовательно, если то след такой матрицы равен нулю.

Доказательство леммы. Мы можем присоединить к основному полю корни степени из элемента С и считать, что Если матрицу А рассматривать как матрицу линейного преобразования некоторого векторного пространства, то для каждого вектора будут выполнены соотношения

Элементарные делители матрицы А согласно их определению (§ 88) являются делителями многочлена т. е. степенями двучлена В свою очередь характеристический многочлен является произведением элементарных делителей и поэтому обязательно равен некоторой степени двучлена Но так как многочлен степени выполняются равенства

Доказательство существования сепарабельного поля разложения. Пусть максимальное сепарабельное подполе в централизатор поля Согласно структурной теореме из § 112 произведение изоморфно полному матричному кольцу где А инверсно изоморфно по отношению к А. Центр алгебры равен так как центр тела К. Следовательно, и центр алгебры равен Но центр полного матричного кольца равен центру алгебры А, так что центр алгебры А равен

Если теперь — произвольный элемент из А, не принадлежащий центру то поле несепарабельно: оно имеет редуцированную степень 1, так как иначе содержало бы некоторое

сепарабельное подполе, содержащее центр Элемент удовлетворяет, следовательно, неразложимому уравнению вида

То же самое верно (при и тогда, когда принадлежит самому центру

Если 2 — максимальное подполе в А, то его редуцированная степень над как над основным полем равна 1, т. е. его степень как расширения равна Поле 2 является полем разложения для А, т. е. полное матричное кольцо над 2 порядка В этом матричном представлении все элементы из А имеют согласно лемме нулевой след, если Объясняется это так: из (2) следует, что если матрица, представляющая элемент 0, то имеет место матричное равенство (1); все матрицы из являются линейными комбинациями матриц из А с коэффициентами из -основного поля матричного кольца; следовательно, все эти матрицы имеют нулевой след при противоречие теперь состоит в том, что сказанное относится к полному матричному кольцу. Следовательно, единственная оставшаяся возможность. Центр является теперь максимальным подполем в К, а потому полем разложения.