§ 134. Конечные R-модули

Мы рассматриваем здесь модули над некоторым (не обязательно коммутативным) кольцом т. е. модули, для которых кольцо является областью левых мультипликаторов. В большинстве рассматриваемых случаев модули содержатся либо в (и, таким образом, являются левыми идеалами в либо в некотором кольце содержащем данную область мультипликаторов

Под конечным -модулем подразумевается такой модуль который порождается конечным базисом или, иначе, элементы которого могут быть выражены как линейные комбинации фиксированных элементов с целочисленными коэффициентами и коэффициентами из

В этом случае пишут

Говорят, что для модуля выполнена теорема о цепях делителей, если каждая цепь подмодулей в где каждый предыдущий член является собственным подмодулем следующего члена (т. е. последующий является «делителем» предыдущего):

обрывается после конечного числа шагов.

Теорема. Если в модуле выполнена теорема о цепях делителей, то каждый подмодуль в имеет конечный базис и наоборот.

Эта теорема является обобщением теоремы из § 115 о базисе идеала и теоремы о цепях делителей. Доказательство в данном случае совершенно аналогично. Чтобы найти базис для произвольно выбранного подмодуля нужно взять в какой-нибудь элемент Если то больше доказывать нечего; в

противном случае выберем в элемент не принадлежащий подмодулю Если то опять-таки больше доказывать нечего; в противном случае выберем следующий элемент Если известно, что цепь модулей

обрывается, то обладает конечным базисом.

Обратно, если каждый подмодуль в обладает конечным базисом и

— цепь подмодулей в то объединение всех — тоже подмодуль, обладающий по условию конечным базисом:

Все однако, содержатся уже в некотором участвующем в данной цепи; следовательно, откуда Таким образом, цепь обрывается на

О том, при каких условиях в модуле выполняется теорема о цепях делителей, говорит следующая

Теорема. Если в кольце имеет место теорема о цепях делителей для левых идеалов и произвольный конечный -модуль, то в имеет место теорема о цепях делителей для -модулей.

Вот утверждение, равносильное этому (в силу предыдущей теоремы):

Если в каждый левый идеал обладает конечным базисом и модуль обладает конечным базисом над то каждый подмодуль в имеет конечный базис над

Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы Гильберта о базисе (§ 115). Пусть и произвольный подмодуль в Каждый элемент из можно записать в виде (1). Если в выражении (1) среди коэффициентов последнее (т. е. начиная с и заканчивая равны нулю, то мы говорим о выражении длины Рассмотрим все входящие в выражения длины Коэффициенты при 1-й слагаемом в них составляют, как легко видеть, некоторый левый идеал в или в кольце целых чисел. Этот идеал обладает конечным базисом

Каждый из является последним коэффициентом или некоторого выражения (1), которое мы обозначим через

Мы утверждаем теперь, что все выражения составляют базис в Действительно, каждый элемент (1) из длины может быть освобожден от 1-го коэффициента с помощью вычитания некоторой линейной комбинации элементов коэффициентами из или в зависимости от значения I), т. е. данное выражение (1) можно свести к выражению меньшей длины. Тем же способом полученное выражение можно изменить и еще уменьшить длину; продолжая таким образом, мы в конце концов придем к нулю. Значит, каждый элемент из может быть представлен в виде линейной комбинации элементов что и требовалось доказать. Если один из идеалов окажется равным нулю, то соответствующие элементы не надо включать в базис.