§ 140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах

Существуют важные целостные кольца, удовлетворяющие аксиомам I и III, но не удовлетворяющие аксиоме II из § 137. Обратимся, например, к кольцу многочленов более чем от одной переменной или к кольцу целочисленных многочленов и их конечным целозамкнутым расширениям (главным порядкам). Во всех этих кольцах есть простые идеалы, отличные от нулевого и единичного, обладающие собственными делителями — простыми идеалами с этим же свойством. В таких кольцах нельзя, следовательно, применять теорию идеалов из § 137. Покажем, что, несмотря на это, основные результаты развитой теории остаются верными, если заменить отношение равенства идеалов отношением «квазиравенства», определяемым ниже.

Итак, пусть о — целостное кольцо, целозамкнутое в своем поле частных 2. Готические буквы в дальнейшем будут обозначать ненулевые дробные идеалы, т. е. -модули в 2, которые становятся целыми идеалами при умножении на подходящий ненулевой элемент из о. Под обратным идеалом опять будет подразумеваться совокупность тех элементов из 2, для которых идеал является целым.

Определим: идеал а квазиравен идеалу если Обозначение: Отношение очевидно, рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Равным образом идеал а называется квазиделителем идеала квазикратным идеала а, если или, что то же самое, если целый идеал. Обозначение: или

Простейшие свойства символов и таковы:

1. Из следует (Доказательство очевидно.)

2. Если главный идеал: то, обратно, из следует Действительно, тогда из предположения о том, что целый идеал, следует, что — целый идеал, т. е. все элементы из делятся на а.

3. Если и одновременно то

4. Все квазикратные идеала в частности, все квазиравные идеалу идеалы обладают свойством: (Немедленное следствие из целостности идеала

Таким образом, в частности, Согласно 1 отсюда следует, что С другой стороны, идеал целый, так что и мы получили свойство

Согласно 4 и 5 идеал является наибольшим из содержащих а и квазиравных ему. Мы будем обозначать идеал через а.

6. Если то Действительно, является целым, так что целый идеал; следовательно,

7. Если то (Следствие из 6.)

8. Если то (Потому что в соответствии с 7 имеем

Если все идеалы, квазиравные некоторому фиксированному идеалу, объединить в один класс, то класс произведения будет, в соответствии с 8, зависеть лишь от класса идеала а и класса идеала с. Следовательно, мы можем определить произведение двух последних классов как класс произведения

9. Единичным классом относительно умножения классов является класс идеалов, квазиравных единичному идеалу потому что для каждого имеет место равенство

10. Все квазикратные кольца о и, в частности, все идеалы единичного класса являются целыми. (Частный случай свойства 2: нужно положить Следствие: все идеалы, квазиравные некоторому целому идеалу, являются целыми.

Мы докажем теперь важнейшее свойство обращения:

То, что очевидно, потому что —целый идеал. Остается доказать, что или Если X принадлежит то идеал является целым, а потому откуда и вообще так что а— целый идеал. Если произвольный элемент из то все степени элемента X после умножения на становятся целыми. С помощью условия целозамкнутости кольца о, аналогично тому, как это было при доказательстве теоремы 1 из § 137, получается, что сам элемент X является целым.

Из 11 следует, что при определенном выше умножении классов класс идеала является обратным по отношению к классу идеала а: произведение классов идеалов есть единичный класс. Отсюда получается

Теорема 1. Классы квазиравных идеалов образуют группу.

Следующие два утверждения позволяют рассматривать квазиделимость и квазиравенство как делимость и соответственно равенство с точностью до множителей из единичного класса:

12. Из следует, что где и идеал целый. В частности,

13. Из следует, что где со и

Действительно, в обоих случаях

Наибольший общий делитель является, конечно, квазиделителем как идеала а, так и идеала Покажем теперь, что:

14. Каждый общий квазиделитель идеалов является квазиделителем и идеала Действительно, если с — один из таких делителей, то с — общий делитель идеалов а потому и идеала

Два целых идеала называются квазивзаимно простыми, если или, что то же, если каждый целый общий квазиделитель идеалов квазиравен кольцу о.

15. Если идеал а является квазивзаимно простым с идеалами то он является таковым и по отношению к произведению Действительно, в этом случае

Левая часть квазиравна кольцу о, а потому и правая часть должна быть такой же.

Следуя Артину, докажем теперь такое предложение:

Теорема 2 (теорема о продолжении). Если даны два разложения некоторого целого идеала а:

то оба произведения можно дальше разложить так, чтобы они совпадали с точностью до порядка следования сомножителей и квазиравенства:

Доказательство. Положим В силу 12 имеем Следовательно, так что Положим далее В силу 12 имеем откуда вновь следует, что Продолжая таким образом, мы в конце концов получим, что Подставим это в (1); тогда окажется, что

В силу группового свойства (теорема 1) молено сократить на

Идеал квазивзаимно прост со всеми значит, с произведением Однако входит в качестве множителя в левую часть соотношения, а потому является делителем произведения Значит, должно иметь место квазиравенство и можно отбросить множитель тоже:

Эти рассуждения теперь можно повторить для и получить в конце концов требуемые разложения (2),

Начиная с этого места, все готические буквы будут обозначать целые ненулевые идеалы. Такой идеал мы будем называть неразложимым, если он не является квазиравным идеалу о и если в каждом представлении в виде произведения один из сомножителей обязательно принадлежит единичному классу, или, что в силу 12 то же самое, если идеал не являясь квазиравным идеалу о, не имеет множителей, отличных от и от в смысле отношения квазиравенства.

Если заменить неразложимый идеал на максимальный содержащий его идеал то каждый собственный делитель идеала не будет квазиравен идеалу а потому обязан быть квазиравным идеалу с. Каждый идеал, квазикратный идеалу или идеалу является в силу 4 кратным идеала Отсюда получается

16. Идеал является простым.

Действительно, если некоторое произведение двух главных идеалов и с делится на но не делится на то идеал является собственным делителем идеала а потому он квазиравен с, откуда

следовательно, идеал с является квазикратным идеала а потому он делится на

Если предположить, что в о выполнена теорема о цепях делителей, то окажется справедливым следующее:

17. Цепь целых идеалов в которой каждый последующий идеал является собственным квазиделителем предыдущего (т. е. квазиделителем, не являющимся квазиравным), обрывается после конечного числа шагов.

Действительно, если заменить идеалы наибольшими квазиравными идеалами то получится цепь из целых идеалов а с а с которая, в соответствии с теоремой о цепях делителей, должна оборваться.

Можно сформулировать «теорему о цепях квазиделителей» (утверждение 17) как «принцип индукции по делителям» (см. § 115, четвертая формулировка теоремы о цепях делителей). Из этого принципа без труда получается, что каждый целый идеал квазиравен некоторому произведению неразложимых идеалов. Однозначность разложения получается как частный случай теоремы о продолжении (теорема 2). Таким образом, имеет место

Теорема 3. Каждый ненулевой целый идеал квазиравен произведению неразложимых идеалов (в качестве которых, конечно, можно выбрать простые идеалы определенному однозначно с точностью до порядка следования сомножителей и квазиравенства.

Следствие. Идеал тогда и только тогда квази делится на когда каждый множитель входящий в разложение идеала входит в разложение идеала а в не меньшей степени. В частности, если — главный идеал, то, согласно 2, из квазиделимости следует обычная делимость. Если в качестве взять главные идеалы и то получится критерий делимости элемента а на элемент или того, что элемент целый. При добавлении классов неглавных идеалов к главным идеалам получится область, в которой, согласно теореме 3, имеет место однозначность разложения на простые множители, а этим и достигается цель «классической теории идеалов».

Теорема 3 имеет место и для дробных идеалов но в этом случае нужно рассматривать и отрицательные степени

Действительно, если

то

и показатели определены однозначно.

Чтобы выяснить отношение построенной сейчас теории к общей теории идеалов и к конкретной теории идеалов, развитой в § 137, мы должны выяснить, какие же простые идеалы являются неразложимыми и какие идеалы квазиравны единичному идеалу о.

Мы уже видели, что для неразложимого идеала у идеал является простым. Докажем теперь следующее утверждение:

18. Любое ненулевое собственное кратное такого идеала не является простым.

Действительно, если а — такое кратное, то в силу 12 в этом случае где . Так как в разложении идеала каждый простой множитель участвует меньшее число раз, чем в а, то точно так же но Следовательно, идеал а не является простым.

Рассмотрим разложение произвольного простого идеала у. Либо либо в разложении участвует некоторый неразложимый множитель Тогда следовательно, ; но так как собственное кратное идеала у не может быть простым идеалом, то должно иметь место равенство Следовательно,

а потому имеет место

19. Каждый простой идеал у либо квазиравен о, либо неразложим и равен соответствующему

Во втором случае идеал не имеет ненулевых собственных кратных, являющихся простыми идеалами. Напротив, в первом случае, как сейчас будет показано, такое кратное всегда существует:

20. Если то существует неразложимый простой идеал являющийся собственным кратным идеала Действительно, если произвольный элемент из

— его разложение, то из 2 следует, что откуда при некотором Но вместе с тем так как иначе выполнялось бы соотношение

Если мы назовем простой идеал, не имеющий никакого простого собственного кратного, отличного от нулевого идеала, высоким, а простой идеал, обладающий таким кратным, напротив, низким, то свойства 18, 19 и 20 можно объединить в следующей теореме:

Теорема 4. Каждый высокий простой идеал неразложим и равен своему каждый низкий простой идеал квазиравен о.

Идеал, не принадлежащий единичному классу, согласно теореме 3 о разложении, делится по крайней мере на один высокий простой идеал Но любой идеал из единичного класса не делится ни на какой высокий простой идеал. Тем самым единичный класс получает характеристику исключительно в терминах теории идеалов (т. е. без обращения к нецелым идеалам).

В силу аксиомы II в кольцах, описанных в § 137, каждый ненулевой простой идеал делится только на себя и на с; следовательно, там нет низких простых идеалов, отличных от о. Так как каждый идеал делится на некоторый простой идеал, не равный о (доказательство: найдем среди делителей идеала а, не равных о, наибольший; он будет свободен от делителей и, следовательно, простой), то а не может быть квазиравным Тем самым единичный класс состоит из одного лишь единичного идеала о. Из свойства 12 далее следует, что квазиделимость и делимость равносильны, а отсюда или из свойства 13 что равносильны квазиравенство и равенство. Таким образом, теория идеалов из § 137 содержится как частный случай в изложенной здесь теории.

Теперь легко установить связи и с общей теорией идеалов, изложенной в пятнадцатой главе. Прежде всего, легко видеть, что каждый примарный идеал, у которого соответствующий простой идеал является низким, должен быть квазиравен идеалу о. Назовем эти примарные идеалы низкими, а остальные — высокими примарными идеалами. Идеал а тогда и только тогда квазиравен идеалу и, когда все его примарные компоненты являются низкими. Если у идеалов высокие примарные компоненты одинаковые (а низкие могут быть и различными),

то эти идеалы квазиравиы. Среди идеалов, квазиравных данному идеалу а, существует наибольший в смысле включения идеал а; он получается отбрасыванием всех низких примарных компонент из разложения Теоремы о разложении и единственности из этого параграфа можно интерпретировать так, что при этом все низкие примарные компоненты последовательно опускаются, а принимаются во внимание лишь высокие. Каждый из высоких примарных идеалов делится только на один высокий простой идеал и, следовательно, при разложении, в соответствии с теоремой 2, он оказывается равным некоторой степени простого идеала; иными словами, каждый высокий примарный идеал квази-равен степени простого идеала.

Обратно, каждая степень высокого простого идеала квази-равна некоторому высокому примарному идеалу. Действительно, если степень высокого простого идеала, то а не может делиться больше ни на какой другой высокий простой идеал (а только на следовательно, в разложении

участвует только один высокий примарный идеал. Если им является, скажем, то следовательно, идеал квазиравен примарному идеалу

Впрочем, идеал — это в точности определенная в § символическая степень простого идеала Тем самым высокие примарные идеалы — это в точности символические степени высоких простых идеалов.

Идеалы а, для которых называются, в соответствии с «терминологией Прюфера, -идеалами. Целые -идеалы — это идеалы, в примарном разложении которых участвуют только высокие примарные идеалы. Все главные идеалы являются -идеалами. В каждом классе квазиравных идеалов существует один-единственный -идеал Если, следуя Прюферу и Круллю, ограничиться лишь -идеалами, то понятие квазиравенства окажется ненужным. Основная теорема (теорема 3) переформулируется так:

Каждый -идеал представляется единственным образом в виде пересечения символических степеней высоких примарных идеалов.

(см. скан)

Сводка результатов теории идеалов

Следующее сопоставление показывает значение для теории идеалов в целостных кольцах сформулированных в § 128 аксиомы I (теорема о цепях делителей), аксиомы II (каждый простой идеал не имеет делителей) и аксиомы III (целозамкнутости):

из I следует: каждый идеал является наименьшим общим кратным некоторых примарных идеалов; соответствующие простые идеалы определены однозначно;

из I и II: каждый идеал является произведением однократных примарных идеалов; представление единственно;

из I и III: каждый идеал квазиравен некоторому произведению степеней простых идеалов; имеет место единственность с точностью до квазиравенства;

из I, II и III: каждый идеал есть произведение степеней простых идеалов; имеет место единственность.