§ 152. Векторы и ковекторы
В разложении в ряд функций поля К относительно плейса
в качестве коэффициентов при степенях униформизирующей
встречаются выражения вида
элементов из
причем так, чтобы во всех этих последовательностях вместе было только конечное число отрицательных индексов
то полученная система последовательностей будет называться ковектором К. Скалярное произведение вектора V и ковектора X определяется так:
Так как существует лишь конечное число элементов
с отрицательными
и лишь конечное число элементов
с отрицательными
то в сумму (4) входят лишь конечное число слагаемых. Отдельные слагаемые — это скалярные произведения
элементы из
Операция X является отображением пространства
векторов V в поле констант, обладающим следующими свойствами:
B)
если только V делится на некоторый зависящий только от X дивизор
Свойства А) и
очевидны. Чтобы доказать В), заметим, что. существует лишь конечное число плейсов у, для которых последовательность начинается с отрицательного индекса
Если из этих плейсов составить дивизор с показателями
то получится утверждение В).
Совокупность всех векторов V, делящихся на дивизор
называется окрестностью нуля в векторном пространстве
Таким образом, свойство В) утверждает, что линейный функционал X отображает некоторую окрестность нуля на нуль. Следовательно, свойство В) — это некоторое свойство непрерывности.
Докажем теперь следующее:
Каждое отображение К пространства
на поле
со свойствами А),
и В) может быть задано с помощью последовательностей
Доказательство. Каждый вектор V может быть представлен в виде суммы некоторого вектора, делящегося на
и конечного множества векторов
содержащих в своих разложениях относительно плейса
лишь слагаемое
(все прочие их компоненты — нулевые):