§ 152. Векторы и ковекторы

В разложении в ряд функций поля К относительно плейса в качестве коэффициентов при степенях униформизирующей встречаются выражения вида

Эти выражения (для каждого плейса образуют некоторое -мерное векторное пространство над полем

Степенные ряды относительно плейса можно теперь записать в более простом виде:

или, если нужно выразить зависимость коэффициентов от плейса

Если каждому плейсу сопоставить степенной ряд (3) с произвольно заданными коэффициентами из причем так, чтобы во всех этих степенных рядах участвовало лишь конечное число членов с отрицательными степенями, то получится система степенных рядов, называемая вектором Степенные ряды называются компонентами вектора Независимо от специального выбора униформизирующей и базисных векторов в (1), упомянутые степенные ряды можно рассматривать как элементы соответствующего плейсу пополнения этих элементов только конечное число могут иметь отрицательный порядок в остальном они выбираются произвольно.

Говорят, что вектор V делится на дивизор если ряд (3) относительно каждого плейса начинается с

В частности, к числу векторов V относятся функции и поля К, потому что каждая функция и относительно каждого плейса может быть разложена в степенной ряд (3) и во все эти степенные ряды входит в совокупности лишь конечное число членов с отрицательными показателями.

Согласно § 21 по векторному пространству можно построить двойственное векторное пространство Элементами пространства являются линейные формы на

Для каждого элемента из и каждого элемента а из можно построить скалярное произведение

Аналогичным образом для бесконечномерного векторного пространства 23 векторов V мы построим двойственное пространство ковекторов

Если каждому плейсу сопоставить последовательность

элементов из причем так, чтобы во всех этих последовательностях вместе было только конечное число отрицательных индексов то полученная система последовательностей будет называться ковектором К. Скалярное произведение вектора V и ковектора X определяется так:

Так как существует лишь конечное число элементов с отрицательными и лишь конечное число элементов с отрицательными то в сумму (4) входят лишь конечное число слагаемых. Отдельные слагаемые — это скалярные произведения элементы из

Операция X является отображением пространства векторов V в поле констант, обладающим следующими свойствами:

B) если только V делится на некоторый зависящий только от X дивизор

Свойства А) и очевидны. Чтобы доказать В), заметим, что. существует лишь конечное число плейсов у, для которых последовательность начинается с отрицательного индекса Если из этих плейсов составить дивизор с показателями

то получится утверждение В).

Совокупность всех векторов V, делящихся на дивизор называется окрестностью нуля в векторном пространстве Таким образом, свойство В) утверждает, что линейный функционал X отображает некоторую окрестность нуля на нуль. Следовательно, свойство В) — это некоторое свойство непрерывности.

Докажем теперь следующее:

Каждое отображение К пространства на поле со свойствами А), и В) может быть задано с помощью последовательностей

Доказательство. Каждый вектор V может быть представлен в виде суммы некоторого вектора, делящегося на и конечного множества векторов содержащих в своих разложениях относительно плейса лишь слагаемое (все прочие их компоненты — нулевые):

При этом, как всегда, еда — некоторый элемент векторного пространства Если отображение применить к определенному выше вектору то получится некоторый элемент из А, зависящий линейно от следовательно, представляемый в виде где а — некоторый элемент из Элемента мы обозначим через где определяется равенством

Так как вектор не делится на то имеет место неравенство так что — поэтому в последовательностях участвует в общей сложности лишь конечное число отрицательных индексов. Далее из А) и В) следует, что

что и доказывает требуемое.

На основании доказанного предложения ковекторы X можно определить и как отображения векторного пространства 58 в поле А со свойствами А), и В). Такое определение инвариантно, т. е. не зависит от выбора элементов