§ 76. Дифференцирование алгебраических функций

Введенное в § 27 определение производной многочлена без каких-либо дополнений переносится на рациональные функции одной переменной

с коэффициентами из поля Действительно, составим выражение

тогда числитель этой дроби обращается в нуль при следовательно, у него есть множитель Разделим обе части на получится

Правая часть является рациональной функцией по которая при принимает вполне определенное значение, так как знаменатель при не обращается в нуль. Это значение рациональной функции мы называем дифференциальным отношением или производной рациональной функции

Чтобы фактически вычислить разложим числитель правой части в (1) по возрастающим степеням разделим на и положим тогда

при подстановке этого выражения в (2) получается известная формула для производной частного:

Пусть произвольная рациональная функция; пусть частные производные по переменным и пусть рациональные функции от х. Выведем формулу для полной производной:

Для этой цели в соответствии с определением производной положим

и

где

Положим в тождестве (4)

и разделим полученное выражение на

Положим справа ; тогда

чем и доказывается (3).

Попытаемся распространить теорию дифференцирования на алгебраические функции одной переменной х. Под алгебраической функцией одной переменной х мы понимаем произвольный элемент алгебраического расширения поля

Мы будем считать, что элемент сепарабелен над Таким образом, алгебраическая функция является корнем некоторого неразложимого над сепарабельного многочлена

Производные многочлена по х и у обозначим соответственно через . В силу сепарабельности многочлен не имеет общих корней с следовательно,

Для разумного определения производной нужно потребовать, чтобы многочлен удовлетворял формуле полной производной

Положим по определению

Сразу усматривается, что это определение не зависит от выбора многочлена потому что если заменить на где произвольная рациональная функция от х, то и в (5) заменятся на

и на

что не изменит соотношения (5).

В частности, если константа из то х не входит в уравнение, определяющее элемент , поэтому

Пусть произвольный элемент поля т. е. некоторая рациональная функция от , целая рациональная по

Для этой функции мы докажем следующую формулу полной производной:

где производные от по х и по у. С этой целью составим уравнение, определяющее которое можно считать целым рациональным по х и

подставим в него выражение для и затем заменим на переменную у. Полученный многочлен от у имеет корнем и потому делится на :

Если продифференцировать это тождество по х и у с помощью формулы полной производной (3), то получится

Заменим теперь у опять на благодаря чему члены с обратятся в нуль; в соответствии с определением (5), далее,

Отсюда получается, что

Умножим второе равенство на прибавим к первому, и

разделим полученное равенство на получим

что и доказывает (6).

После того как с помощью проведенного вычисления установлен частный случай (6), не представляет труда доказательство общей формулы полной производной. Соответствующее правило таково: если сепарабельные алгебраические функции от х из некоторого поля и многочлен с производными то

Доказательство. Пусть примитивный элемент сепарабельного расширения поля Тогда все являются рациональными функциями от х и 0:

Согласно (6), если производные от по х и по то

и, равным образом, если производные функции

то

Но в силу (3)

следовательно,

Вот важнейшие частные случаи общей формулы (7):

Определение производных (5) применимо, конечно, не только тогда, когда переменная, но и тогда, когда любой трансцендентный относительно элемент, а алгебраический сепарабельный элемент над . В этом случае элемент х предпочтительнее обозначать через Таким образом, в любом поле степени трансцендентности 1 над все элементы , сепарабельные над можно дифференцировать по трансцендентному элементу

Если и алгебраически зависят от то поле имеет степень трансцендентности 1 над Если теперь трансцендентен над то алгебраически зависит от . Предположим, что сепарабелен над ; тогда можно построить Если

— определяющее уравнение элемента над и если частные производные многочлена то

С другой стороны, если продифференцировать (12) по то в соответствии с формулой полной производной получится равенство

Если (13) умножить на и вычесть из (14), то получится формула производной сложной функции

В частности, при она дает

Таким образом, мы получили чисто алгебраически, не прибегая к понятию предела, все обычные правила дифференциального исчисления для алгебраических функций одной переменной.