§ 61. Циклические поля и двучленные уравнения

Пусть - основное поле, содержащее корни степени из единицы, в котором -кратное единичного элемента не равно нулю (т. е. не делится на характеристику). Тогда: группа Галуа «двучленного» уравнения

над циклично.

Доказательство. Если корень уравнения, то (где С — примитивный корень степени из единицы) — остальные корни этого уравнения. Поэтому порождает поле корней и любая подстановка из группы Галуа имеет вид

Последовательное применение двух подстановок дает Следовательно, каждой подстановке соответствует некоторый вполне определенный корень из единицы а произведению подстановок — произведение корней из единицы. Поэтому группа Галуа изоморфна некоторой подгруппе группы корней степени из единицы. Так как последняя группа циклична, то любая подгруппа в ней тоже циклична и, следовательно, циклична сама группа Галуа.

Если, в частности, уравнение неразложимо, то корни сопряжены с и группа Галуа изоморфна полной группе корней степени из единицы. В этом случае ее порядок равен

Теперь мы хотим показать, что, наоборот, каждое циклическое поле степени над К порождается корнями двучленного уравнения

Пусть 2 — циклическое поле степени и пусть а — порождающая подстановка из группы Галуа, т. е. Предположим опять, что основное поле К содержит корни степени из единицы.

Пусть примитивный корень степени из единицы в поте К. Для каждого элемента а из 2 составим резольвенту Лагранжа

Согласно теореме о независимости из § 54 автоморфизмы линейно независимы; поэтому элемент а можно выбрать в 2 так, чтобы было Автоморфизм переводит в

Поэтому степень остается неизменной под действием подстановки , т. е. принадлежит основному полю К.

Из (2) повторением описанного рассуждения получается равенство

Единственная подстановка из группы Галуа, которая оставляет неизменным элемент является тождественной. Следовательно, порождает все поле Отсюда мы получаем нужный результат:

Любое циклическое поле степени при условии, что его основное поле содержит корни степени из единицы и не делится на характеристику, получается присоединением корня степени из некоторого элемента основного поля.

Если основное поле К не содержит корней степени из единицы, то для использования описанного метода нужно сначала присоединить к К корни степени из единицы. При таком присоединении группа Галуа остается циклической.

Докажем теперь еще несколько фактов о неразложимости двучленных уравнений простой степени

Сначала предположим, что основное поле К содержит корпи степени из единицы; тогда согласно доказанному в начале этого параграфа группа Галуа является подгруппой циклической группы порядка а потому либо всей группой, либо единичной группой. В первом случае все корни сопряжены и, следовательно, уравнение неразложимо. Во втором случае все корни остаются инвариантными относительно подстановок группы Галуа; следовательно, уравнение распадается на линейные множители уже в поле К. Итак, многочлен а либо неразложим, либо полностью разлагается на линейные множители.

Если поле К не содержит корней из единицы, то утверждать так много уже нельзя. Однако имеет место теорема:

Либо многочлен а неразложим, либо элемент а является степенью и в поле К имеет место равенство:

Доказательство. Предположим, что многочлен а разложим:

В своем поле разложения многочлен а разлагается следующим образом:

Следовательно, множитель должен быть произведением множителей а свободный член многочлена должен иметь вид где — корень степени из единицы:

Так как имеет место равенство поэтому при подходящих целых рациональных числах

следовательно, элемент а является степенью.

Интересные теоремы о разложимости двучленных уравнений содержатся в работах

(см. скан)