§ 125. Длина примарного идеала. Цепи примерных идеалов в нётеровых кольцах

Теорема 1 и 2 (§ 124) и их варианты были использованы в упоминавшейся работе Крулля для доказательства теорем об обрыве цепей простых идеалов

Прежде чем обратиться к этим теоремам, нам нужно ввести понятие длины примарного идеала.

Пусть примарный идеал, ассоциированный с простым идеалом в нётеровом кольце . Ряд примарных идеалов, ассоциированных с одним и тем же простым идеалом оканчивающийся идеалом

называется собственным нормальным рядом данного примарного идеала. Слово «собственный» употребляется здесь для указания на то, что каждый последующий идеал является в данном ряде собственным делителем предыдущего. Число I называется длиной нормального ряда. Если в ряд нельзя более вставить ни одного примарного идеала, то он называется композиционным рядом примарного идеала

Докажем, что каждый нормальный ряд примарного идеала может быть уплотнен до некоторого композиционного ряда и что все композиционные ряды имеют одну и ту же длину. Она называется длиной примарного идеала

Для доказательства можно ограничиться случаем, когда нулевой идеал. Общий случай сводится к этому переходом к кольцу классов вычетов по идеалу При таком гомоморфизме все идеалы, делившие станут делителями идеала

Ситуация упрощается еще больше, если перейти к кольцу частных где множество элементов из с, не делящихся на Все собственные делители идеала при расширении о до о переходят в единичный идеал о; только переходит в отличный от о простой идеал Так как каждый простой идеал в о является расширением некоторого простого идеала из о (а именно — своего сужения), то в кольце о существует только один простой идеал если не считать само о. Поэтому в представление пересечением любого идеала может входить только один примарный идеал (ассоциированный с простым идеалом

В кольце каждый идеал, отличный от , является примарным относительно простого идеала

Начиная с этого места, кольцо и идеал обозначим через Рассмотрим о как аддитивную группу с областью операторов . Допустимыми подгруппами являются тогда идеалы в , т. е. само кольцо и идеалы, примарные относительно простого идеала Каждый собственный нормальный ряд в смысле теории групп

после отбрасывания начального члена о дает собственный нормальный ряд примарного идеала

В главе 6 было доказано следующее утверждение: если в группе с операторами существует композиционный ряд, то каждый нормальный ряд можно уплотнить до некоторого композиционного ряда и все композиционные ряды имеют одну и ту же длину Поэтому нам нужно лишь доказать, что существует хоть один композиционный ряд.

Для этого построим нормальный ряд

Факторгруппу можно рассматривать как векторное пространство с в качестве области операторов. Так как идеал максимален, факторкольцо является полем. Так как идеал имеет конечный базис, то указанное векторное пространство конечномерно; следовательно, существует конечный композиционный ряд от до Если для записать соответствующие композиционные ряды друг за другом от до , то получится требуемое.

Все теоремы Крулля о цепях простых идеалов опираются на следующую основную теорему:

Теорема о главных идеалах. Если — главный идеал изолированный простой идеал, соответствующий то любая собственная цепь простых идеалов

обрывается уже на

Доказательство. Предположим, что существует цепь вида

С помощью перехода к кольцу классов вычетов по модулю можно сделать равным нулевому идеалу. При этом получится так, что само кольцо не будет содержать делителей нуля. Перейдем к кольцу частных где множество элементов из о, не делящихся на тогда все не делящиеся на элементы станут обратимыми, а делящиеся на идеалы из цепи (1) останутся

различными и простыми. Кольцо частных, которое мы вновь обозначим через , содержит единицу и не имеет делителей нуля. Так как все простые идеалы, принадлежащие (6), переходят, за исключением у, в единичный идеал, то является примарным идеалом для Равным образом, все делители идеала кроме , являются примарными для простого идеала При переходе к кольцу частных теория идеалов в существенно упрощается, что облегчает дальнейшее доказательство.

Обозначим через как и раньше, символическую степень идеала Идеалы цепи

являются делителями элемента а потому, в соответствии с отмеченным выше, эти идеалы примарны относительно простого идеала у. Число различных идеалов в этой цепи не может быть больше, чем длина примарного идеала поэтому, начиная с некоторого места, идеалы в цепи станут равными:

Пусть теперь Докажем сначала, что

Действительно, пусть элемент из Тогда

в силу чего

так что

По определению, идеал является примарным и элемент не делится на соответствующий простой идеал следовательно, элемент должен делиться на Отсюда

чем и доказывается (2).

Согласно теореме 16 (§ 124), из (2) следует включение

так что

Кольцо не имеет делителей нуля. Согласно теореме 3 (§ 124) пересечение символических степеней идеала является нулевым

идеалом. Таким образом, из (3) следует

Однако степень является примарным идеалом относительно простого идеала в то время как (0) является простым идеалом Получилось противоречие. Следовательно, любая цепь вида (1) невозможна.

С помощью повторного применения теоремы о главных идеалах Крулль доказал следующее обобщение:

Если изолированный простой идеал, принадлежащий идеалу то любая собственная цепь простых идеалов

обрывается не позднее, чем на

В частности, эта теорема имеет место тогда, когда

— примарный идеал и соответствующий простой идеал. Так как каждый идеал имеет конечный базис, оказывается справедливым следующее утверждение:

Каждая собственная цепь простых идеалов (5) обрывается на конечном шаге.

По поводу доказательства и применения результатов к теории локальных колец можно рекомендовать упомянутую выше книгу Норткотта.