§ 135. Элементы, целые над кольцом

Пусть подкольцо кольца

Элемент из называется целым над если все степени принадлежат конечному -модулю вида или если все степени линейно выражаются через конечное множество элементов кольца в виде

В частности, каждый элемент из является целым над так как принадлежат -модулю Конечно, и единичный элемент из если он существует, является целым над

Если поле, которое, следовательно, содержит поле частных кольца то степени любого целого элемента линейно зависят от конечного множества величин с коэффициентами из потому что содержит не только кольцо но и единицу. Тем самым среди степеней элемента есть лишь конечное множество линейно независимых над поэтому элемент является алгебраическим над и вместо «целый элемент» часто говорят «целый алгебраический элемент».

Если — кольцо, в котором имеет место теорема о цепях делителей для левых идеалов, то, согласно § 134, она имеет место и в подмодулях конечного -модуля . В частности, цепь модулей

стабилизируется и, значит, некоторая степень элемента линейно

выражается через более низкие степени:

Обратно, если элемент из который при выбранном подходящим образом числе представляется в виде (2) с коэффициентами из соответственно из то с помощью (2) можно и более высокие степени элемента выразить через конечное множество элементов и тем самым установить, что в соответствии с нашим определением элемент является целым. Мы доказали следующее предложение:

Если в кольце имеет место теорема о цепях делителей для левых идеалов, то для того, чтобы элемент был целым над необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство вида (2).

Если поле, то равенство (2) доставляет новое выражение того факта, что алгебраичен над полем Если в есть единица, то к множеству степеней элемента можно добавить и а в равенстве (2) удалить, группу слагаемых Вместо (2), таким образом, получается более простое равенство:

характерной особенностью которого является то, что коэффициент при высшей степени элемента равен единице.

Примеры. Целые алгебраические числа — это алгебраические числа, являющиеся целыми над кольцом обычных целых чисел, т. е. удовлетворяющие некоторому целочисленному уравнению со старшим коэффициентом 1. Целые алгебраические функции от это функции из некоторого алгебраического расширения поля которые являются целыми надкольцом многочленов при этом К является заранее фиксированным основным полем. Абсолютно целые алгебраические функции от это функции, которые являются целыми над кольцом целочисленных многочленов

В любом кольце 5 сумма, разность и произведение двух целых над элементов являются целыми. Иначе говоря, целые над элементы из составляют некоторое кольцо

Доказательство. Если все степени элемента выражаются через а все степени элемента выражаются через линейно, то все степени элементов линейно выражаются через

Если предположить выполненной теорему о цепях делителей для идеалов кольца то можно доказать транзитивность свойства быть целым элементом.

Если кольцо целых элементов коммутативного кольца (над подкольцом элемент из целый над то этот элемент является целым и над содержится в Или, иначе: если элемент удовлетворяет равенству (2) с коэффициентами целыми над то сам является целым над

Доказательство. С помощью многократного применения равенства (2) все степени элемента можно выразить линейно через с коэффициентами, которые являются либо целыми числами, либо целыми рациональными функциями от произведений степеней коэффициентов Для каждого существует конечное множество элементов из через которые линейно выражается с коэффициентами из следовательно, все произведения степеней элементов выражаются через конечное множество произведений элементов из указанных выше конечных множеств. Умножим эти произведения, которых всего конечное число, на и добавим к полученному множеству еще тогда получится конечное множество элементов, через которые уже все степени элемента линейно выражаются с коэффициентами из и целочисленными коэффициентами.

Кольцо называется целозамкнутым в некотором объемлющем кольце если каждый целый над элемент из 5 принадлежит уже В частности, целостное кольцо называется просто целозамкнутым, если оно целозамкнуто в своем поле частных 2. Как легко видеть, это означает, что каждый элемент из 2, степени которого выражаются как дроби с некоторым фиксированным знаменателем из принадлежит кольцу Действительно, конечное множество элементов, через которые могут быть выражены все степени некоторого целого числа может быть приведено к общему знаменателю и, обратно, если все степени элемента представляются в виде дробей со знаменателем то они линейно выражаются через элемент

Из предыдущей теоремы следует, что в случае коммутативного кольца кольцо всех целых над элементов из является целозамкнутым в если идеалы из удовлетворяют теореме о цепях делителей.

Такая же теорема может быть доказана и без предположения о справедливости теоремы о цепях делителей, если считать, что кольцо целозамкнуто в своем поле частных а 5 является конечным расширением поля Для доказательства поле расширяется до некоторого расширения Галуа поля а до кольца целых элементов поля Если некоторый элемент является целым над а потому и над то таковыми будут и элементы, сопряженные с над а также элементарные симметрические функции этих сопряженных элементов, т. е. коэффициенты уравнения, определяющего элемент В силу

целозамкнутости кольца эти коэффициенты принадлежат кольцу так что оказывается целым над следовательно,

Одно достаточное» но не необходимое условие для целозамкнутости целостного кольца дает следующая

Теорема. Целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители, целозамкнуто в своем поле частных.

Доказательство. Каждый элемент поля частных можно представить дробью в которой не имеют общих простых множителей. Тогда, если все степени дроби можно освободить от знаменателей умножением на некоторый элемент с, то а потому и с, должны делиться на при каждом натуральном что, однако, возможно лишь тогда, когда некоторый обратимый элемент, и поэтому элемент из данного целостного кольца.

Из этой теоремы следует, что всякое кольцо главных идеалов (в частности, кольцо целых чисел всякое кольцо целочисленных многочленов и всякое кольцо многочленов над каким-либо полем К являются целозамкнутыми.

(см. скан)