§ 97. Звездное произведение

Звездное произведение двух элементов кольца о определяется равенством

Джекобсон в этом случае пишет и называет конструкцию «круговой композицией».

Звездное произведение ассоциативно, а нуль является единичным элементом при таком умножении:

Если кольцо имеет единицу 1, то произведение можно определить и равенством

Левый звездно обратный элемент для данного элемента определяется условием

или, если есть единица 1, — условием

Элемент обладающий левым звездно обратным элементом называется звездно регулярным слева (или квазирегулярным слева). Точно так же определяются правый звездно обратный и звездно регулярный справа элементы — условием

Элемент называется просто звездно регулярным, если существует такой который является левым и правым звездно обратным для

Теорема 4. Каждый нильпотентный элемент звездно регулярен.

Доказательство. Если и положить

то получится, что Таким образом, элемент звездно регулярен.

Если в некотором левом идеале 1 все элементы звездно регулярны слева, то они и звездно регулярны. Действительно, пусть элемент из его левый звездно обратный элемент; тогда

Следовательно, лежит в I и обладает левым звездно обратным Имеем теперь

так что

т. е. не только левый, но и правый звездно обратный для

Левый или правый идеал, элементы которого звездно регулярны, называется звездно регулярным. Согласно доказанному выше, левый идеал является звездно регулярным, если все его элементы звездно регулярны слева. Точно так же правый идеал звездно регулярен, если все его элементы звездно регулярны справа.

Теорема 5. Радикал является звездно регулярным левым идеалом, содержащим все звездно регулярные левые идеалы.

Доказательство. Пусть элемент идеала Мы хотим показать, что обладает левым звездно обратным. Построим множество всех элементов

в котором х пробегает кольцо . Это множество является модулярным левым идеалом, для которого играет ту роль, которую раньше играл элемент с. Если этот левый идеал содержит то существует элемент х со свойством

Отсюда следует, что т. е. левый звездно обратный для Если модулярный левый идеал не содержит элемента 2, то он не равен о и в силу теоремы 3 принадлежит некоторому модулярному максимальному левому идеалу Элемент лежит в , а является пересечением всех модулярных максимальных левых идеалов; поэтому лежит в . Но тогда все элементы

лежат в т. е. совпадает с , в то время как должно выполняться противоположное соотношение:

Следовательно, каждый элемент идеала обладает левым звездно обратным, т. е. звездно регулярный левый идеал.

Пусть теперь произвольный звездно регулярный левый идеал. Мы хотим показать, что I содержится в каждом модулярном максимальном левом идеале 8, т. е. принадлежит Если бы I не лежал в идеале то сумма идеалов совпадала бы со всем кольцом :

Так как идеал модулярен, существует элемент с со следующим свойством:

В силу (1) этот элемент с должен представляться суммой в которой у принадлежит I, а принадлежит Отсюда:

Так как элемент лежит в идеале I, то он обладает звездно обратным

Из (3) и (4) следует, что

а потому в силу (2)

что невозможно.

Из теоремы 5 очень легко следует равенство «правого» и «левого» радикалов. Действительно, определим правый радикал как пересечение всех модулярных максимальных правых идеалов; тогда звездно регулярный двусторонний идеал, а потому в силу теоремы 5 он содержится в Точно так же содержится в следовательно, Тем самым, радикал можно определить любым из следующих способов: как пересечение всех модулярных максимальных левых или правых идеалов, а также как объединение всех звездно регулярных левых или правых идеалов.

Левый или правый идеал называется нильидеалом, если все его элементы нильпотентны. Из теоремы 4 непосредственно следует, что каждый нильидеал звездно регулярен. Поэтому из теоремы 5 получается

Теорема 6. Все нильидеалы содержатся в радикале.

В частности, все нильпотентные идеалы содержатся в Их объединение является малым радикалом Следовательно, имеет место

Теорема 7. Малый радикал содержится в большом радикале

(см. скан)