Глава пятнадцатая. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ

В этой главе мы рассмотрим свойства делимостиидеалов коммутативных колец и попытаемся перенести некоторые простые теоремы, имеющие место в области целых чисел, на кольца общего типа. Чтобы не сталкиваться с лишними трудностями, целесообразно ограничиться кольцами, в которых каждый идеал обладает конечным базисом; этот случай, как мы увидим, встречается очень часто.

§ 115. Нётеровы кольца

Мы говорим, что в кольце о справедлива теорема о базисе, если каждый идеал в с обладает конечным базисом. Коммутативные кольца, в которых выполняется теорема о базисе, называются нётеровыми.

Теорема о базисе имеет место в любом теле, потому что там есть лишь идеалы (0) и (1) Она имеет место и в кольце целых чисел и, говоря более общо, в любом кольце главных идеалов. Кроме того, она справедлива в любом конечном кольце. Позднее мы увидим, что теорема о базисе имеет место в факторкольце если она имеет место в самом кольце о. Наконец, справедливо следующее предложение, восходящее к Гильберту:

Теорема. Если теорема о базисе выполняется в кольце с, содержащем единичный элемент, то она выполняется и в кольце многочленов

Доказательство. Пусть произвольный идеал в Коэффициенты при старших степенях переменных х в многочленах из идеала вместе с нулем составляют некоторый идеал в о, потому что если старшие коэффициенты в многочленах

то, скажем, при

— вновь некоторый многочлен из старший коэффициент или нуль. Точно так же, если а — старший коэффициент многочлена а, то либо старший коэффициент многочлена либо нуль.

Согласно условию идеал а старших коэффициентов имеет некоторый базис будем считать, что старший коэффициент многочлена

степени , и пусть наибольшее из чисел

Включим многочлены в конструируемый базис идеала Посмотрим, какие еще многочлены необходимо включить в этот базис. Если

— произвольный многочлен из степени то элемент а должен принадлежать идеалу а:

Построим многочлен

Коэффициент при в этом многочлене равен

Таким образом, многочлен имеет степень, меньшую Следовательно, можно заменить по модулю многочленом меньшей степени. Мы можем таким путем понижать степень, пока она не станет меньше Поэтому достаточно ограничиться многочленами степеней, меньших

Коэффициенты при в многочленах степени из объединенные с нулем, составляют некоторый идеал пусть

— базис этого идеала, и старший коэффициент многочлена

Включим теперь в базис и многочлены Тогда любой многочлен степени можно заменить по модулю многочленом степени — 2; для этого, как и раньше, нужно из данного многочлена вычесть подходящую линейную комбинацию

Продолжим намеченную конструкцию. Коэффициенты при в многочленах степени вместе с нулем составляют идеал базисные элементы которого соответствуют многочленам Эти многочлены мы также включим в базис. В конце концов придем к идеалу состоящему из констант,

лежащих в базис этого идеала приводит к многочленам Таким образом, каждый многочлен из приводится к нулю по модулю

Следовательно, многочлены составляют базис в чем и завершается доказательство теоремы о базисе.

Из этой теоремы с помощью -кратного повторения сразу получается обобщение:

Если теорема о базисе имеет место в кольце о с единицей, то она справедлива и в кольце многочленов от конечного множества переменных

Наиболее важные частные случаи: кольцо целочисленных многочленов и любое кольцо многочленов с коэффициентами в поле К. Все эти кольца нётеровы.

Гильберт высказал свою теорему только для этих случаев, но в более общей, на первый взгляд, формулировке:

В любом подмножестве кольца о (не только в любом идеале) существует такой конечный набор элементов что любой элемент из представляется в виде

Эта теорема является, однако, непосредственным следствием теоремы о базисе для идеалов. В самом деле, если идеал, порожденный множеством то обладает базисом:

Каждый элемент (как элемент идеала, порожденного множеством выражается через конечный набор элементов из

Следовательно, все элементы из линейно зависят от конечного набора элементов в частности, это относится и к элементам из

Более важным является то обстоятельство, что теорема о базисе эквивалентна следующей «теореме о цепях делителей»:

Теорема о цепях делителей. Первая формулировка. Если цепочка идеалов кольца собственный делитель идеала

то цепь обрывается после конечного числа членов.

Иначе говоря, имеет место

Теорема о цепях делителей. Вторая формулировка. Если бесконечная цепь делителей:

то, начиная с некоторого все должны быть равны:

То, что теорема о цепях делителей следует из теоремы о базисе, можно установить так:

Пусть бесконечная цепь и Объединение всех идеалов а; является некоторым идеалом, потому что если лежат в и, скажем, а принадлежит принадлежит то лежат в где наибольшее из чисел следовательно, лежит в а потому и в Если же а — произвольный элемент из взятый, например, из то лежит в а потому

Согласно условию идеал имеет конечный базис Каждый из элементов а; лежит в некотором идеале Если наибольшее из чисел то все лежат в одном идеале Так как элементы из и) линейно выражаются через то все элементы из лежат в а отсюда следует, что

Наоборот, теорема о базисе следует из теоремы о цепях делителей. Действительно, пусть а — идеал и произвольный элемент из а. Если а, не порождает весь идеал, то в а существуют элементы, не принадлежащие пусть один из этих элементов. Тогда

Если все еще не порождают весь идеал а, то точно так же отыскивается третий элемент не принадлежащий Получается цепь делителей

Но она обрывается после конечного числа (скажем, после шагов:

Следовательно, идел а имеет конечный базис.

Если теорема о целях делителей имеет место в кольце о, то она справедлива и в любом факторкольце

Доказательство. Любой идеал 6 в является некоторым множеством классов вычетов. Если составить объединение этих классов вычетов, то получится некоторый идеал в о. Наоборот, идеал однозначно определяет идеал :

Любая цепь идеалов в кольце задает таким способом некоторую цепь идеалов в кольце

а так как последняя обрывается на одной из своих компонент, то первая цепь также конечна.

Тем самым доказано сформулированное в начале этого параграфа утверждение о том, что если теорема о базисе выполняется в кольце с, то она выполняется и в кольце

Теорема о цепях делителей имеет еще две формулировки, удобные для приложений:

Теорема о цепях делителей. Третья формулировка: условие максимальности. Если в кольце о имеет место теорема о цепях делителей, то в любом непустом множестве идеалов существует максимагьный идеал, т. е. такой идеал, который не содержится ни в одном другом идеале данного множества.

Доказательство. Фиксируем в каждом непустом множестве идеалов какой-нибудь идеал. Если бы в некотором множестве не было максимального идеала, то любой из идеалов этого множества содержался бы в одном из других идеалов этого же множества. Возьмем в фиксированный в нем с самого начала идеал затем в множестве тех идеалов из которые содержат и не совпадают с возьмем фиксированный для этого множества идеал . В результате получится бесконечная цепь

что, согласно условию, невозможно.

Теорема о цепях делителей. Четвертая формулировка: принцип индукции по делителям. Если в кольце о имеет место теорема о цепях делителей и можно доказать наличие некоторого свойства каждого идеала а (в частности, у единичного идеала) в предположении, что это верно для всех собственных делителей идеала а, то свойством обладает каждый идеал данного кольца.

Доказательство. Предположим, что некоторый идеал не обладает свойством Тогда, в соответствии с третьей формулировкой теоремы о цепях делителей, существует максимальный идеал а, не обладающий свойством . В силу максимальности все собственные делители идеала а должны обладать свойством а потому им должен обладать и идеал а. Получили противоречие.