§ 38. Присоединение

Пусть А — подтело некоторого тела тогда называется расширением или надтелом тела А. Наша цель — получить сведения о всевозможных расширениях заданного тела А. Одновременно это будет служить информацией о телах вообще, потому что каждое тело можно представить как расширение содержащегося в нем простого тела.

Пусть сначала расширение тела — произвольное множество элементов из Существует тело, содержащее и например, одно из таких тел. Пересечение всех тел, содержащих само является телом, содержащим обозначается через Оно является наименьшим среди подтел, содержащих А и Мы говорим, что получается из А присоединением множества Имеем

Два крайних случая таковы:

Телу А принадлежат элементы из А и все элементы из а также все элементы, получаемые при сложении, вычитании, умножении и делении элементов из А и 25. Все эти элементы составляют некоторое тело, которое, таким образом, должно совпадать с Итак: тело состоит из всевозможных рациональных комбинаций элементов из с элементами из А. В коммутативном случае эти комбинации можно записать просто как отношения целых рациональных функций от элементов из с коэффициентами из А.

Если конечное множество: то тело обозначают и через . В этом случае гсворят также о присоединении элементов их, к телу А. Тем самым, круглые скобки всегда будут означать присоединение к телу, в то время как квадратные скобки, например, означают присоединение к А как к кольцу (т. е. здесь составляются всевозможные целые рациональные комбинации).

В рациональном выражении какого-либо элемента из через элементы из участвует лишь конечное множество элементов из Каждый элемент тела принадлежит, следовательно, некоторому телу , где — конечное подмножество из Следовательно, тело является объединением всех тел где произвольная конечная часть множества Присоединение произвольного множества сводится, таким образом, к присоединениям конечных множеств и последующему взятию объединения.

Если объединение множеств и то, очевидно,

В самом деле, тело содержит следовательно, а потому и следовательно, тело ; обратно, тело обязательно содержит а потому и следовательно, тело

Присоединение конечного множества сводится, очевидно, к конечному множеству последовательных присоединений одного элемента. Расширение, полученное присоединением одного элемента, называется простым расширением тела. Такие расширения мы рассмотрим в следующем параграфе.