§ 90. Квадратичные и эрмитовы формы

Пусть К — поле и квадратичная форма

с коэффициентами из поля К. Положим и будем писать вместо просто тогда (1) можно записать короче:

Построим форму где у обозначает новый набор переменных Вычисление показывает, что

где симметрическая билинейная форма

с коэффициентами

Форму называют полярной формой квадратичной формы

Когда переменные х линейно преобразуются:

форма переходит в новую форму

При этом матрица предполагается неособой. Формы называются рационально эквивалентными над полем К. Если матрица и обратная к ней состоят из элементов некоторого кольца то формы называются эквивалентными над кольцом (например, целочисленно эквивалентными, когда — кольцо целых чисел).

Если переменные у преобразуются точно так же, как переменные х, с коэффициентами

то форма переходит в некоторую билинейную форму :

Из (2) следует, что

Если — полярная форма квадратичной формы то В — полярная форма квадратичной формы Построение полярной формы инвариантно относительно линейных преобразований переменных.

Если в (2) подставить то получится

или

Если характеристика поля отлична от 2, то из можно восстановить форму

Положим теперь тогда можно будет записать квадратичную форму в виде

Из коэффициентов билинейной формы можно построить следующий определитель:

Определитель называется определителем формы Если характеристика основного поля не равна 2, то из разделенных на 2 коэффициентов можно построить определитель А. Этот определитель называется дискриминантом формы Очевидно, имеет место равенство

Выясним, как меняется определитель при линейных преобразованиях (4). Подставим (4) и (5) в (3); получим

следовательно,

где суммирование ведется по индексам, встречающимся дважды. Равенство (11) можно записать как матричное равенство

где матрица, транспонированная по отношению к матрице

Если взять определители обеих частей равенства (12), то получится

Иначе говоря: определитель умножается на квадрат определителя осуществляемого преобразования.

Начиная с этого места, предполагается, что характеристика основного поля отлична от . Заменим переменные на координаты произвольно взятого вектора и, а переменные на координаты вектора и запишем:

в частности,

Приведем квадратичную форму с помощью линейного преобразования к наиболее простому виду. Для этого выберем вектор так, чтобы было ; это всегда возможно, если не есть тождественный нуль. Тогда уравнение определяет некоторое поднространство векторного пространства которое не содержит Выберем в этом подпространстве, если возможно, вектор чтобы было тогда уравнение вместе с предыдущим уравнением определяет некоторое подпространство которое не содержит Будем продолжать это до тех пор, пока не придем к подпространству такому, что для всех и из так что для из Может оказаться, что

тогда нулевое подпространство. В противном случае выберем в произвольный векторный базис Тогда

Разложим теперь каждый вектор по новому базису

тогда

Таким образом, форма как принято говорить, преобразована к сумме квадратов.

Векторы из подпространства обладают тем свойством, что

и характеризуются этим. Следовательно, подпространство и его размерность инвариантно связаны с формой Число квадратов в (14) также инвариантно; оно называется рангом формы

Предположим, что поле К упорядочено (§ 77). Число отрицательных коэффициентов в (14) называется индексом инерции формы Покажем, что и индекс инерции инвариантен (закон инерции Сильвестра).

Пусть та же форма разложенная по другим базисным векторам выглядит так:

предположим, что положительны, а отрицательны и, аналогично, положительны, отрицательны. Пусть, например, тогда линейные уравнения

определяют пространство размерности, большей Для произвольного вектора и этого пространства должно иметь место неравенство а с другой стороны — неравенство следовательно, и все координаты нулевые. Поэтому вектор и лежит в

Получается, что некоторое пространство размерности, большей содержится в -мерном пространстве, чего быть не может.

Если все коэффициенты положительны, то в случае форма называется положительно определенной, а в случае полуопределенной. Положительно определенные формы характеризуются тем, что на любом векторе они принимают положительное значение; полуопределенные формы характеризуются тем, что их значения не всегда положительны, но всегда

Положительно определенная форма, как это немедленно следует из (14), после присоединения к полю К величин водится к «единичной форме»:

Аналогом квадратичных форм являются эрмитовы формы. Чтобы получить их, присоединим к упорядоченному полю К квадратный корень из какого-либо отрицательного элемента а поля К, например величинах поля К будем говорить, что они «вещественны», чтобы отличать их от величин поля в приложениях поле К большей частью является полем вещественных чисел и

С каждым числом сопряжено число Произведение всегда вещественно и причем знак равенства возможен лишь при

Под эрмитовой формой мы понимаем выражение

Значение формы на произвольном векторе и всегда вещественно. Построив

получим в качестве коэффициента при X билинейную форму

Имеет место равенство

При линейном преобразовании переменных где преобразуются, конечно, сопряженным преобразованием с матрицей матрица эрмитовой формы меняется так:

где матрица, транспонированная и сопряженная к

Наши предыдущие рассмотрения о представлении квадратичных форм в виде суммы квадратов остаются справедливыми и для эрмитовых форм. Нормальная форма выглядит в данном случае так:

Форма вновь называется положительно определенной, если все значения положительны, за исключением случая, когда или когда и коэффициенты положительны. После присоединения к основному полю квадратных корней из положительно определенная форма приводится к «единичной форме»

Последующие рассуждения справедливы в равной степени для эрмитовых и для квадратичных форм. Мы будем говорить о формах эрмитовых, а для того чтобы перевести доказываемые предложения на случай квадратичных форм, надо выбирать коэффициенты в поле К и отбросить надстрочные черты в записях.

Мы будем выбирать конкретную, большей частью положительно определенную эрмитову форму ранга в качестве основной формы и будем обозначать через матрицу ее коэффициентов Если, в частности, единичная форма, то единичная матрица Два вектора будут называться ортогональными, если . В этом случае и Векторы, ортогональные к фиксированному вектору составляют линейное подпространство; оно называется подпространством, ортогональным к вектору . Если форма положительно определена, то всегда так что сам вектор и в этом случае не принадлежит ортогональному ему подпространству Базис, состоящий из попарно ортогональных векторов который используется для представления формы в нормальном виде (15), называется полной ортогональной системой векторов. Ортогональная система называется нормированной, если

Линейные преобразования А, удовлетворяющие равенству

называются эрмитово симметрическими или просто симметрическими. Вот как выглядит в расписанном виде последнее равенство:

или

или

Если, в частности, единичная форма, то условие симметрии выглядит просто:

чем и объясняется термин «симметрическое».

Линейные преобразования А, относительно которых основная форма инвариантна, т. е.

называются унитарными, а в вещественном случае — ортогональными. Очевидно, что тогда и В частности, если чего всегда можно добиться в положительно определенном случае, то высказанное условие выглядит так:

Расписывая подробно, получаем «условия ортогональности»

или, что то же,

Вещественное ортогональное преобразование с определителем 1 называется вращением.

Если симметрическое или унитарное преобразование А переводит отличный от нуля вектор и в кратный ему:

т. е. если А оставляет инвариантной прямую, порожденную вектором и, то и ортогональное к и подпространство инвариантным относительно А.

Доказательство. Если принадлежит пространству т. е. то для симметрического преобразования имеет место система равенств

а для унитарного — система равенств

Вектор со свойством (19) называется собственным вектором преобразования число А, называется соответствующим собственным значением.

Как мы уже видели в § 89, собственные значения находятся из векового уравнения

а соответствующие собственные векторы — из линейных уравнений, эквивалентных матричному равенству (19):

Предположим, что поле К вещественно замкнуто (например, является полем вещественных чисел) и поэтому поле алгебраически замкнуто (ср. § 81); тогда вековое уравнение (20) обязательно обладает корнем в которому соответствует некоторый собственный вектор Ортогональное к подпространство переводится преобразованием А в себя, и на преобразование А снова симметрическое или унитарное, если таковым оно было на Следовательно, по тем же причинам в существует некоторый собственный вектор ортогональное пространство к которому внутри обозначим его через вновь инвариантно и т. д. Таким образом, найдется полная система из линейно независимых попарно ортогональных собственных векторов

Если перейти к новому базису то матрица А примет диагональный вид:

Такую нормальную форму, согласно сказанному выше, имеет как симметрическое, так и унитарное преобразование.

Если мы нормируем векторы условием а это всегда возможно, потому что поле К вещественно замкнуто и содержит квадратные корни из положительных величин то форма на базисе окажется равной единичной форме Если матрица А симметрическая, то должна быть симметрической и совпадающая, следовательно, и поэтому

Характеристический многочлен матрицы А или матрицы таков:

Отсюда: вековое уравнение симметрической матрицы А имеет только вещественные корни.

Если, кроме того, матрицы вещественны, то вещественны и собственные векторы как решения вещественных уравнений (21). Отсюда: вещественная симметрическая матрица приводится к диагональной форме (22) вещественным линейным преобразованием.

С симметрическим преобразованием инвариантным образом связана эрмитова форма

с матрицей

по которой восстанавливается матрица Л:

Осуществляя диагональное преобразование с матрицами мы одновременно действуем и на получающаяся в результате форма выглядит так:

Тем самым доказано следующее утверждение:

Любые две эрмитовых формы из которых одна, скажем, определена положительно, приводятся одновременно одним и тем же преобразованием к виду

Числа являются характеристическими корнями матрицы или, что то же, корнями векового уравнения

В частности, любые две вещественных квадратичных формы, одна из которых положительно определена, вещественным преобразованием одновременно приводятся к суммам квадратов:

Общее исследование вопроса о классификации пар квадратичных форм см. в книге: Диксон (Dickson L.E.y. Modern Algebraic Theories.-Chicago, 1926.

(см. скан)

(см. скан)