Глава седьмая. ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП

Содержание. В §§ 48, 49 обсуждается некоторое обобщение понятия группы. §§ 50 — 52 содержат важные общие теоремы о нормальных подгруппах и «композиционных рядах», а §§ 53, 54 — специальные теоремы о группах подстановок, которые в дальнейшем потребуются лишь при изложении теории Галуа.

§ 48. Группы с операторами

В этом параграфе будет расширено понятие группы, благодаря чему все рассмотрения получат большую общность, нужную для дальнейших приложений (главы 17 — 19). Читатель, интересующийся лишь теорией Галуа, может спокойно пропустить ближайшие два параграфа; под группами (например, конечными группами) он может в дальнейшем подразумевать группы в прежнем смысле.

Пусть даны: во-первых, некоторая группа (в обычном смысле) с элементами во-вторых, некоторое множество новых объектов которые мы называем операторами. Пусть каждому и каждому а соответствует некоторое «произведение» а («значение оператора , примененного к элементу предполагается, что это произведение вновь принадлежит группе Далее предполагается, что каждый оператор «дистрибутивен», т. е.

Иначе говоря: «умножение» на оператор должно быть эндоморфизмом группы Если выполнены все эти условия, то называется группой с операторами, областью операторов.

Допустимая подгруппа группы (относительно области операторов — это такая подгруппа которая в свою очередь допускает в качестве области операторов, т. е. если а принадлежит то каждый элемент да также должен лежать в Если допустимая подгруппа является нормальной, то говорят о допустимой нормальной подгруппе.

Примеры. 1. Пусть операторами служат внутренние автоморфизмы группы

Допустимыми являются те подгруппы, которые вместе с каждым своим элементом а содержат также и все элементы , т. е. нормальные подгруппы.

2. Пусть операторами служат всевозможные автоморфизмы группы Допустимыми тогда будут те подгруппы, которые при каждом автоморфизме переходят в себя; такие подгруппы называются характеристическими.

3. Пусть некоторое кольцо, рассматриваемое как группа относительно сложения. Пусть областью операторов служит само это кольцо: произведение 6а будем понимать просто как произведение в кольце. Тогда (1) является обычным дистрибутивным законом:

Допустимыми подгруппами здесь будут левые идеалы, т. е. те подгруппы, которые вместе с каждым содержат все элементы

4. Из соображений удобства можно операторы записывать справа от групповых элементов, т. е. вместо а писать Тогда (1) выглядит так:

Если, например, элементы некоторого кольца (рассматриваемого как аддитивная группа) рассматривать как правые операторы, где вновь означает произведение в кольце, то в качестве допустимых подгрупп получатся правые идеалы.

5. Наконец, часть операторов можно записывать слева, а часть — справа. Например, если в качестве области операторов брать кольцо, действующее на свою аддитивную группу умножением, то его элементы можно рассматривать как левые и как правые мультипликаторы, в этом случае допустимыми подгруппами будут двусторонние идеалы.

6. В соответствии с традицией, модулем называют всякую аддитивно записанную абелеву группу. Модуль также может иметь ту или иную область операторов, которая в этом случае называется областью мультипликаторов, ее элементы подчинены условиям:

Как правило, оказывается так, что областью мультипликаторов служит некоторое кольцо и

(соответственно, если мультипликаторы пишутся справа, то а Тогда (первый нуль — это нулевой элемент кольца, второй нуль — нулевой элемент

модуля). Если с — кольцо мультипликаторов, то говорят об о-модулях или о модулях над кольцом о. Если кольцо обладает единичным элементом то очень часто предполагают, что этот единичный элемент одновременно является «единичным оператором», для всех а из

7. Любое (правое или левое) векторное пространство над телом К является -модулем.

8. Совокупность всех эндоморфизмов абелевой группы (т. е. всех гомоморфных отображений в себя) является областью операторов, которая становится кольцом, если сумму и произведение двух гомоморфизмов определить формулами (2) (где справа знак плюс означает операцию над групповыми элементами). Это кольцо называется кольцом эндоморфизмов абелевой группы.

Из этих примеров становится ясным, насколько широки приложения групп с операторами.

(см. скан)