Глава четвертая. ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

В настоящей главе вводятся некоторые основные понятия линейной алгебры. Их изучение в более общей форме будет продолжено в главе 12.

§ 19. Векторные пространства

Пусть даны: 1) тело К, элементы которого будут называться коэффициентами или скалярами; 2) модуль (т. е. аддитивная абелева группа) элементы х, у,... которого будут называться векторами; 3) умножение векторов на скаляры, удовлетворяющее следующим требованиям:

Если все это выполнено, то называется векторным пространством над К, точнее, правым -векторным пространством, так как коэффициенты а пишутся справа от векторов. Понятие левого -векторного пространства вводится аналогично; закон ассоциативности для левого векторного пространства записывается так:

Если тело К коммутативно, то вместо можно также писать . В этом случае правое векторное пространство становится левым векторным пространством. Если же тело К некоммутативно, то правые и левые векторные пространства необходимо различать.

Вместо или мы будем писать Нулевой элемент группы как и тела К, будет обозначаться через 0.

Примерами векторных пространств могут служить всевозможные поля, содержащие данное поле К, а в более общей ситуации — всевозможные кольца содержащие данное тело К, причем таким образом, что единичный элемент из К является и единичным элементом из

Из как обычно, следует, что

Равным образом, из следует, что

Векторное пространство называется конечномерным или, коротко, - конечным над К, если существует конечное число порождающих элементов через которые можно выразить с помощью коэффициентов а из К любой элемент из

Если один из порождающих элементов выражается через остальные то как порождающий элемент пространства он является лишним. Вычеркнем его из ряда и будем так продолжать до тех пор, пока нельзя будет выбросить ни одного из порождающих элементов результате останутся базисных векторов (или базис) из которых ни один нельзя линейно выразить через остальные. Такие векторы, среди которых ни один нельзя линейно выразить через остальные, называются линейно независимыми.

Если линейно независимые векторы, то из

с необходимостью следуют равенства

Действительно, если хотя бы один из элементов был отличен от нуля, то из (2) можно было бы выразить вектор через остальные векторы.

Если составляют базис векторного пространства то каждый вектор х однозначно выражается через базисные векторы с помощью коэффициентов из К:

Действительно, если бы существовало второе выражение для того же самого вектора

то, вычитая (4) из (3), мы получили бы некоторую линейную ависимость

где все разности должны были бы равняться нулю; поэтому обязательно равно для каждого

С помощью (3) каждому вектору X единственным образом сопоставляется ряд коэффициентов из К, которые называются координатами вектора х в базисе Обратно, каждому набору из коэффициентов с помощью (3) однозначным образом сопоставляется вектор х. Следовательно, при фиксированном базисе имеет место взаимно однозначное соответствие

Два вектора можно сложить, складывая их координаты:

вектор умножается на а, когда все его координаты умножаются на а:

Число базисных векторов называется равномерностью векторного пространства . В следующем параграфе мы увидим, что размерность не зависит от выбора базиса.

Векторное пространство размерности которое может служить моделью любого векторного пространства этой размерности, получается следующим образом. В качестве вектора х берется последовательность из элементов тела К. Суммой двух векторов является последовательность Вектор х умножается на скаляр а путем умножения на а каждого из элементов Определенные таким способом сложение и умножение на а удовлетворяют всем условиям, с помощью которых вводится понятие векторного пространства. Векторы

которых всего составляют базис, пот что каждый вектор допускает однозначное представление в виде

Таким образом, наша модель векторного пространства действительно имеет размерность

Из соответствия (5) следует предложение:

Каждое векторное пространство размерности над К изоморфно модельному пространству, состоящему из последовательностей

(см. скан)