§ 91. Антисимметрические билинейные формы

Билинейная форма от переменных с коэффициентами из поля

называется антисимметрической, если она обладает следующими двумя свойствами:

Для коэффициентов это означает, что

Введем новые переменные вместо старых с помощью одного и того же линейного преобразования:

тогда форма перейдет в новую билинейную форму

которая вновь будет антисимметрической; коэффициенты последней будут задаваться равенствами

или, в матричной форме,

Для определителя матрицы из (6) получается следующая формула преобразования:

где определитель матрицы преобразования.

(см. скан)

С помощью подходящим образом выбранной матрицы преобразования приведем форму к наиболее простому нормальному виду. Это преобразование будет введено за несколько шагов.

Если форма тождественно равна нулю, то без всякого преобразования она представляется в нормальной форме:

Если же хотя бы один коэффициент данной формы отличен от нуля, то можно считать, что Найдем в (1) все слагаемые с переменной

Тогда слагаемые с переменной таковы:

Введем вместо новые переменные по формулам:

после этого запишем как форму от и от Слагаемые с теперь выглядят просто:

Слагаемые с таковы:

Вместо введем теперь новые переменные

и запишем как форму от и от Тогда останутся только два слагаемых, содержащих или а именно:

Все остальные слагаемые содержат лишь Если все они равны нулю, то мы получили нормальную форму

В противном случае можно повторить проведенную процедуру и вместо получить новые переменные которые окажутся лишь в слагаемых

В конце концов получится нормальная форма, которая без введенных выше штрихов выглядит так:

где

В -мерном векторном пространстве, состоящем из векторов вида есть подпространство которое задается уравнениями

или

Размерность этого подпространства равна где ранг матрицы А. Очевидно, указанная размерность является инвариантом формы относительно обратимых линейных преобразований переменных Таким образом, инвариантом является и число

Если вычислить ранг нормальной формы то получится

Так как инвариант, то ранг исходной формы является четным числом. Имеем:

Ранг антисимметрической матрицы А является четным числом Это число равно количеству слагаемых в нормальной форме (8).

Если размерность нечетное число, то ранг обязательно меньше, чем и поэтому определитель равен нулю. Если же четное, то существуют формы с определителем например, нормальная форма Следовательно, определитель антисимметрической матрицы из четного числа строк не всегда равен нулю.

Мы получим общую антисимметрическую форму, считая коэффициенты при независимыми переменными и выразив остальные через них с помощью (4) и (5). Если четное то определитель так построенной общей формы в силу сказанного выше отличен от нуля. Если привести эту общую форму к нормальному виду, то получится нормальная форма (8) с Коэффициенты соответствующей матрицы преобразования являются рациональными функциями от переменных а определитель нормальной формы равен единице. Следовательно,

где А — рациональная функция от представляемая, таким

образом, отношением многочленов:

Из (10) и (11) следует, что

Следовательно, делится на а потому —на

Подставим это в (11) и (12); тогда получится

Определитель является формой степени поэтому форма степени от переменных Если для случаев провести соответствующие вычисления, то получится

Формула для в общем случае была найдена Пфаффом. Доказательство имеется в одном очень поучительном письме Липшица (Lipschitz R.). - Ann. Math., 1959, 69, p. 247), опубликованном много лет спустя после его смерти.

Группа линейных преобразований переменных и переводящих в случае нормальную форму в себя, называется комплексной или симплектической. По поводу строения этой группы, а также ортогональных групп и вообще линейных групп см. Дьедонне (Dieudonne J.). Sur les groupes classiques.-Paris, 1948.