§ 3. Натуральный ряд

Будет предполагаться известным множество натуральных чисел

также будут предполагаться известными следующие основные свойства этого множества (аксиомы Пеано): натуральное число.

II. Для каждого числа а существует вполне определенное последующее число в множестве натуральных чисел.

III. Всегда

т. е. нет числа с последующим числом 1.

IV. Из следует т. е. каждое число либо вовсе не является последующим ни для какого числа, либо является последующим точно для одного числа.

V. «Принцип индукции». Каждое множество натуральных чисел, которое содержит число 1 и вместе с каждым содержащимся в нем числом а содержит последующее число содержит все натуральные числа.

На свойстве V основан метод доказательства с помощью индукции. Для того чтобы доказать, что некоторым свойством обладают все числа, доказывают сначала, что им обладает число 1, а затем доказывают его для произвольного числа при «индуктивном предположении», что число свойством уже обладает. В силу аксиомы V множество чисел, обладающих свойством должно содержать множество всех чисел.

Сумма двух чисел. Каждой паре чисел х, у можно единственным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое через так, чтобы оказались выполненными следующие условия:

(1) 1 для каждого х;

(2) для каждого и для каждого у.

В силу этого определения мы можем в дальнейшем писать вместо также а Имеют место следующие правила:

(3) («Закон ассоциативности сложения»).

(4) («Закон коммутативности сложения»),

(5) Из а следует

Произведение двух чисел. Каждой паре чисел х, у можно единственным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое через или через так, чтобы выполнялись следующие условия:

(7) для каждого х и для каждого у.

Имеют место правила:

(8) («Закон ассоциативности умножения»),

(9) («Закон коммутативности умножения»),

(10) («Закон дистрибутивности»),

(11) Из следует

Больше и меньше. Если то пишут или Доказывается, что:

(12) Для любых двух чисел имеет место одно и только одно из соотношений:

(13) Из следует

(14) Из следует а

(15) Из следует

Решение и уравнения (единственное в силу (5)) в случае обозначается через Вместо или пишут кратко Соответствующим образом объясняется запись

Далее, имеет место следующая важная теорема:

Каждое непустое множество натуральных чисел содержит наименьшее число, т. е. такое число, которое меньше всех остальных чисел множества.

На этой теореме основана вторая форма индукции. Для того чтобы доказать, что некоторым свойством обладают все числа, доказывают, что им обладает произвольное число предполагая «по индукции», что оно выполнено для всех чисел, меньших (В частности, этим свойством обладает число так как нет чисел, меньших единицы; следовательно, здесь предположение индукции отпадает. Доказательство по индукции должно, конечно, быть построено так, чтобы оно охватывало и случай

иначе оно недостаточно.) Тогда свойством обладают все числа. Действительно, в противном случае множество чисел, не обладающих свойством было бы непустым и если наименьшее число в этом множестве, то получилось бы, что все числа, меньшие обладают свойством что противоречит доказанному.

Наряду с «доказательством методом индукции» в обеих ее формах существует «определение (или построение) методом индукции». Допустим, что мы хотим сопоставить каждому натуральному числу х некоторый новый объект и при этом заранее задана «система рекуррентных определяющих соотношений», которые связывают значение с предшествующими значениями Предполагается, что эти соотношения единственным образом определяют как только задаются все при которые уже удовлетворяют заданным соотношениям. Простейший случай состоит в следующем: для значение выражается через а для значение задается непосредственно. Примерами служат соотношения (1), (2), соответственно (6), (7), с помощью которых выше были определены сумма и произведение. Мы утверждаем теперь: при сделанных предположениях существует одна и только одна функция значения которой удовлетворяют заданным соотношениям.

Доказательство. Под отрезком натурального ряда мы подразумеваем совокупность всех натуральных чисел, не превосходящих Прежде всего мы утверждаем: на каждом отрезке существует одна и только одна функция определенная на числах х этого отрезка, которая удовлетворяет заданным соотношениям. Это утверждение верно для отрезка а также для любого отрезка при условии, что оно верно для отрезка потому что благодаря рекуррентным соотношениям значение и значения однозначно определяют значение Таким образом, утверждение верно для каждого отрезка Мы получаем, следовательно, ряд функций Каждая функция определена на равным образом, на каждом меньшем отрезке но там она также удовлетворяет определяющим соотношениям и потому совпадает с функцией Следовательно, любые две функции совпадают для тех значений х, на которых они одновременно определены.

Искомая же функция должна быть определена на всех отрезках и вместе с тем удовлетворять определяющим соотношениям, т. е. совпадать с функциями Такая функция существует и притом только одна: ее значение является

общим значением всех функций которые определены для числа х. Тем самым теорема доказана.

Мы очень часто будем пользоваться «построением методом индукции».

(см. скан)

Присоединяя символы — а (отрицательные целые числа) и О, можно расширить натуральный ряд до области целых чисел. Чтобы было удобнее распространить смысл символов эту область, целесообразно представить целые числа парами натуральных чисел следующим образом:

натуральное число а — парой

нуль — парой

отрицательное число —а — парой где всюду - произвольное натуральное число.

Каждое число может быть представлено многими символами но каждый символ определяет одно и только одно целое число, а именно:

натуральное число если

число 0, если

отрицательное число , если

Определим:

Без труда проверяется: во-первых, эти определения не зависят от выбора символов в левой части, — нужно лишь, чтобы числа были одни и те же; во-вторых, выполняются правила (3), (4), (5), (8), (9), (10), (12), (13), (14), а также (15) для ретьи х, в расширенной области уравнение всегда имеет решение и притом единственное (решение снова будет обозначаться через в-четвертых, тогда и только тогда, когда или

(см. скан)

Из элементарных свойств целых чисел мы привели здесь лишь те, что важны для дальнейшего. По поводу определения дробей, а также свойств делимости целых чисел см. главу 3.