§ 36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби

Разложение рациональных функций на простейшие дроби опирается на следующую теорему о целых рациональных функциях: Если два взаимно простых многочлена над полем К, если а — степень многочлена степень многочлена и если произвольный многочлен, степень которого меньше то имеет место тождество

в котором имеет степень, меньшую имеет степень, меньшую а.

Доказательство. По условию, наибольший общий делитель многочленов равен 1; поэтому справедливо тождество

Если это умножить на то получится

Чтобы сделать степень меньшей разделим этот многочлен на

где степень многочлена меньше степени многочлена следовательно, меньше Подставим (3) в (2):

При этом степень левой части и первого слагаемого справа меньше следовательно, и последнее слагаемое справа имеет степень, меньшую так что степень многочлена меньше а. Тем самым сформулированная выше теорема доказана.

Разделим тождество (1) на тогда получится разложение дроби на две дроби:

В левой части, по условию, степень числителя меньше степени знаменателя. В каждой из дробей справа имеет место то же самое. Если в одной из этих дробей вновь можно разложить знаменатель в произведение двух взаимно простых многочленов, то эту дробь можно будет в свою очередь разложить в сумму двух других дробей. Так можно продолжать до тех пор, пока знаменатели не превратятся в степени простых многочленов. Это доказывает теорему о разложении рациональных функций на простейшие дроби:

Каждая дробь знаменатель которой имеет степень, большую степени числителя, является суммой простейших дробей, знаменатели которых являются степенями простых многочленов, на которые разлагается знаменатель

Получаемые таким способом дроби со знаменателями можно разлагать дальше. Действительно, если многочлен имеет степень I, то имеет степень и числитель степень которого меньше можно сначала разделить на получив некоторый остаток степени, меньшей ; затем этот остаток поделить на получив остаток степени, меньшей

При этом частные имеют степень, меньшую Из всех этих равенств в совокупности следует, что

Так получается вторая формулировка теоремы о разложении в сумму элементарных дробей.

Пусть дробь, числитель которой имеет степень, меньшую степени знаменателя, и знаменатель которой разлагается на простые множители следующим образом:

тогда является суммой простейших дробей, знаменатели которых представляют собой степени а числители которых имеют степень, меньшую степени входящего в знаменатель неразложимого многочлена

Если, в частности, все простые множители линейны, то все числители являются константами. В этом важном частном случае разложение в сумму простейших дробей осуществляется очень простым способом: нужно всякий раз отделять дробь с наибольшей возможной степенью знаменателя, и степень знаменателя тем самым будет понижаться. Действительно, запишем знаменатель в виде где не делится на тогда

где константу всегда можно определить так, чтобы числитель второй дроби обращался в нуль при следовательно, делился на

Вторую дробь в (5) можно теперь сократить на а и, продолжая тем же способом, прийти к полному разложению на простейшие дроби.