§ 160. Непрерывность. Пределы

Функция отображающая топологическое пространство в топологическое пространство называется непрерывной в точке если для каждой окрестности точки в существует окрестность точки в образ которой целиком содержится в

Аналогично функция аргументов пробегающих топологические пространства соответственно, со значениями в некотором топологическом пространстве называется непрерывной в точке если для каждой окрестности точки существуют такие окрестности точек что принадлежит всякий раз, когда принадлежит принадлежит

Если функция непрерывна в каждой точке, то говорят, что она непрерывна или задает непрерывное отображение. Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества (т. е. множество элементов из образы которых принадлежат является открытым множеством.

Взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение топологического пространства на топологическое пространство называется топологическим. Любое топологическое отображение переводит открытые множества в открытые, а замкнутые в замкнутые.

Последовательность точек в топологическом пространстве называется сходящейся к пределу если каждая окрестность содержит все члены этой последовательности, начиная

с некоторого номера:

При этом можно ограничиться окрестностями из некоторого базиса окрестностей точки так как каждая окрестность содержит некоторую окрестность из базиса.

Задача 1. Непрерывное отображение переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся.

Задача 2. Непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна.