§ 10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы

Если в двух множествах и определены некоторые соотношения (например, а или и если каждому элементу а из так сопоставлен элемент из что все соотношения между элементами в выполняются и для их образов в (например, из а следует если рассматривается соотношение ), то называется гомоморфизмом или гомоморфным отображением из в .

Например, пусть группа и произвольное множество, в котором определены произведения. Если сопоставление таково, что произведению всегда соответствует произведение то отображение является гомоморфизмом групп. Примерами могут служить определенные выше (взаимно однозначные) изоморфизмы групп.

Если отображение сюръективно, т. е. каждый элемент из является образом по крайней мере одного элемента из то говорят о гомоморфизме из на .

Гомоморфное отображение множества в себя называется эндоморфизмом этого множества.

При гомоморфном отображении множества на множество можно объединить в один класс а те элементы из которые имеют один и тот же образ При этом окажется, что каждый элемент а будет принадлежать одному и только одному классу т. е. множество разобьется на классы, которые взаимно однозначно соответствуют элементам множества Класс а называется также прообразом элемента а.

Примеры. Если сопоставить каждому элементу произвольно взятой группы ее единицу, то получится гомоморфизм этой группы на единичную группу. Точно так же получится гомоморфизм, если каждой подстановке произвольно взятой группы подстановок сопоставить число или число — 1 в зависимости от того, четна эта подстановка или нечетна. Гомоморфным образом здесь служит мультипликативная группа чисел и —1.

Сопоставим каждому целому числу степень элемента а произвольной группы; тогда получится гомоморфизм аддитивной группы целых чисел в циклическую группу, порожденную элементом а, потому что сумме при этом сопоставляется произведение атач. Если а — элемент бесконечного порядка, то построенный гомоморфизм является изоморфизмом.

Рассмотрим отдельно гомоморфизмы групп.

Если в множестве определены произведения (т. е. соотношения вида и группа гомоморфно отображается на и является группой. Коротко: гомоморфный образ группы является группой.

Доказательство. Пусть сначала — три элемента из являющиеся образами элементов с из Из

следует, что

Далее, из равенства

справедливого при всех а, следует, что для всех

и аналогично из

следует, что

Таким образом, в существует единичный элемент и обратный элемент для каждого а. Следовательно, группа. Одновременно мы доказали, что

Единичный элемент и обратные элементы при гомоморфизме переходят снова в единичный элемент и обратные элементы.

Изучим теперь подробнее разбиение на классы, которое задается гомоморфным отображением При этом мы установим очень важное взаимно однозначное соответствие между гомоморфизмами и нормальными подгруппами.

Класс с группы который при гомоморфизме переходит в единичный элемент группы является нормальной подгруппой в остальные классы являются смежными классами по этой нормальной подгруппе.

Доказательство. Сначала покажем, что подгруппа. Пусть переходят при гомоморфизме в тогда снова переходит в так что с содержит произведение двух любых своих элементов. Далее, элемент переходит также в и класс с содержит элементы, обратные ко всем своим элементам.

Все элементы произвольно взятого левого смежного класса переходят в элемент Если, наоборот, элемент а переходит в элемент а, то определим х из уравнения

Получается, что

Следовательно, элемент х лежит в классе с, а элемент а принадлежит классу

Поэтому класс группы который соответствует элементу а, является левым смежным классом

Но точно так же можно показать, что класс, который соответствует элементу а, должен быть правым смежным классом Таким образом, налицо совпадение правых и левых смежных классов:

и класс нормальная подгруппа. Утверждение полностью доказано.

Нормальная подгруппа с, элементы которой переходят при гомоморфизме в единичный элемент называется ядром гомоморфизма.

Обратим теперь постановку вопроса: пусть задана произвольная нормальная подгруппа группы Можно ли построить группу гомоморфный образ группы элементам которой в точности соответствовали бы смежные классы группы по нормальной подгруппе

Чтобы это сделать, возьмем попросту в качестве элементов конструируемой группы смежные классы по нормальной подгруппе Согласно § 8 произведение двух любых смежных классов по нормальной подгруппе снова является смежным классом и если а — элемент смежного класса элемент смежного класса то произведение принадлежит произведению смежных классов Таким образом, смежные классы составляют множество, гомоморфное группе т. е. гомоморфный образ группы Группу, состоящую из этих смежных классов, называют факторгруппой группы по нормальной подгруппе и обозначают через

Порядок группы равен индексу подгруппы

Здесь мы видим принципиальную важность нормальных подгрупп: они позволяют строить новые группы, гомоморфные данным группам.

Если группа гомоморфно отображается на другую группу то, как мы видели, элементы группы взаимно однозначно соответствуют смежным классам по ядру в группе Это соответствие, конечно, является изоморфизмом, потому что если два смежныч класса, то их произведение, а для соответствующих элементов из в силу гомоморфизма имеет место равенство

Итак, мы имеем:

а вместе с этим изоморфизмом и теорему о гомоморфизмах групп:

Каждая группа на которую гомоморфно отображается группа изоморфна факторгруппе при этом нормальная подгруппа является ядром данного гомоморфизма. Обратно, группа гомоморфно отображается на любую свою факторгруппу с — нормальная подгруппа).

(см. скан)

В абелевой группе всякая подгруппа является нормальной (ср. § 8, задача 4). Если закон композиции записывать как сложение, то группы и подгруппы принято называть модулями, о чем упоминалось выше. Смежный класс (где некоторый модуль) называется классом вычетов по модулю (или классом вычетов а факторгруппа называется фактор-модулем модуля по подмодулю

Два элемента лежат в одном классе вычетов, если их разность лежит в Такие два элемента называют сравнимыми по модулю (или сравнимыми и пишут

или, кратко,

Тогда для элементов модуля классов вычетов, соответствующих элементам в силу гомоморфизма, имеет место равенство

Наоборот, из следует

Например, в множестве целых чисел кратные фиксированного натурального числа образуют модуль, и в соответствии с этим пишут

если разность делится на Классы вычетов могут быть представлены элементами и, следовательно, модуль классов вычетов является циклической группой порядка

Задача 6. Каждая циклическая группа порядка изоморфна модулю классов вычетов по целому числу