§ 133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным

В этом параграфе мы распространим теоремы, доказанные в § 132 для нульмерных идеалов, на многомерные идеалы.

Метод состоит в следующем: если примарный идеал в кольце размерности — соответствующий простой идеал, общим корнем которого является и если, например, алгебраически независимы, то с помощью подстановки мы превращаем идеалы в нульмерные. Осуществим эту подстановку во всех многочленах идеала при этом многочлены перейдут в многочлены из кольца и составят там некоторый идеал Очевидно, что подстановку достаточно произвести в базисных многочленах тогда полученные многочлены будут порождать идеал

Ясно, что идеал состоит из многочленов деленных на произвольные отличные от нуля многочлены от переменных потому что многочлены составляют в некоторый идеал, и чтобы получить порождаемый им идеал в как раз и нужно упомянутым многочленам приписать знаменатели

Точно так же, как из получается из идеала получается идеал и вообще из каждого идеала некоторый идеал

Геометрически подстановка означает, что все рассматриваемые многообразия пересекаются линейным пространством проходящим через общую точку многообразия идеала

Если некоторый многочлен и принадлежит идеалу то, согласно сказанному выше,

так что

Отсюда ввиду алгебраической независимости элементов следует, что

Из следует, однако, что откуда

Таким образом, чтобы выяснить, принадлежит ли некоторый многочлен идеалу нужно лишь проверить, принадлежит ли идеалу соответствующий многочлен Итак, идеал однозначно определяется идеалом

Мы утверждаем следующее: идеал в кольце примарен, соответствующий простой идеал совпадает с идеалом у; показатель идеала равен показателю идеала общим корнем идеала является наконец, размерность идеала равна нулю.

Доказательство. Чтобы показать, что идеал является примарным, а соответствующим простым идеалом, достаточно установить следующие три свойства:

1) из следует, что

2) из следует, что

3) из следует, что

Во всех трех свойствах можно считать целыми рациональными по потому что в случае необходимости их можно умножить на подходящий многочлен С учетом последнего замечания можно заменить на переменные х, идеал на идеал а идеал на идеал действительно, например, эквивалентно сравнению После такой замены 1), 2) и 3) будут утверждать не что иное, как то, что — примерный, соответствующий простой идеал, а это нам уже известно. Одновременно установлено, что показатели идеалов равны.

Чтобы показать, что является общим корнем идеала нужно показать, что из

где рациональная функция от и целая рациональная функция от следует сравнение

и наоборот. Вновь можно считать, что целая рациональная функция от Но тогда эквивалентно сравнению следовательно, эта часть утверждения оказывается верной благодаря тому, что общий корень идеала

Наконец, нульмерность идеала следует из того, что менты алгебраичны над Таким образом, все утверждения доказаны.

Тем же способом можно показать, что если примарная компонента идеала то а — примарная компонента соответствующего идеала Если изолированная компонента идеала то и изолированная компонента идеала

Описанный метод сведения всех примарных идеалов к нульмерным дает средство выяснения, принадлежит ли заданный многочлен заданному идеалу в предположении,

что задано разложение идеала на примарные компоненты:

Действительно, для каждой примерной компоненты мы находим соответствующий нульмерный идеал а затем расширяем поле так, чтобы распадался на примарные идеалы обладающие единственным корнем каждый, а затем методом § 132 с помощью «нётеровых условий»

выясняем, принадлежит ли многочлен идеалам а потому и идеалу Так как корни идеалов сопряжены над то и сами идеалы а потому и идеалы сопряжены над следовательно, достаточно для каждого рассмотреть лишь один Таким образом, нужно присоединить лишь один корень каждого из идеалов Пусть — один из таких корней. Вместо мы имеем, следовательно, простой идеал

а вместо условия (1) можем взять более удобное условие

действительно, условие (2) также необходимо для сравнения а из (2) немедленно следует (1). Условие (2), которое должно удовлетворяться для каждой примарной компоненты идеала известно под названием критерия Генцелыпа или теоремы Генцелыпа о корнях.

В частности, если изолированная компонента идеала т. е. изолированная компонента идеала то можно, как это было сделано в § 122, определить показатель из условия

Из условий (1) для наиболее явно обнаруживается геометрический смысл примарных идеалов: принадлежность примарному идеалу накладывает некоторые требования на начальные члены разложения многочлена по степеням разностей в некоторой общей точке алгебраического многообразия например, требование, что многочлен должен обращаться в нуль в этой общей точке или что гиперповерхность в этой общей точке должна касаться некоторой другой гиперповерхности, содержащей многообразие и т. д.

(см. скан)