§ 120. Изолированные компоненты и символические степени

Пусть непустое множество в коммутативном кольце , содержащее вместе с двумя любыми своими элементами и их произведение Такое множество называется мультипликативно замкнутым.

Пусть идеал в с. Под мы подразумеваем множество всех тех элементов для которых лежит в при каком-то из

Множество является идеалом (очевидно, делителем идеала действительно, если лежат в то принадлежат а потому

лежит в так что принадлежит если х принадлежит то и лежит в То, что все элементы из принадлежат идеалу очевидно.

Идеал называется -компонентой идеала или, более подробно, компонентой идеала определенной множеством

Начиная с этого места, пусть о — нётерово кольцо. Если идеал представляется в виде произведения примарных идеалов

то примарные идеалы можно подразделить на те, которые пересекаются с т. е. имеют с по крайней мере один общий элемент, и на все остальные. Если имеет с общий элемент то ассоциированный простой идеал содержит тот же элемент Обратно, если содержит некоторый элемент из то имеет с общий элемент при некотором натуральном

Перенумеруем идеалы так, чтобы не пересекались с пересекались. Утверждается:

В случае соотношение (2) означает попросту, что

Доказательство. Если х принадлежит идеалу следовательно, принадлежит то для

т. е. принадлежит идеалу Обратно, если х принадлежит то в случае для каждого от до можно выбрать элемент из который делится на Положим

В случае выберем из произвольно. В обоих случаях элемент делится на все идеалы т. е. принадлежит идеалу а потому х принадлежит идеалу

Примарная компонента идеала называется вложенной, если ассоциированный простой идеал является делителем другого ассоциированного с простого идеала в противном случае компонента называется изолированной. В первом случае сам ассоциированный простой идеал называется вложенным (а именно — вложенным в идеал а во втором — этот идеал называется изолированным. Аналогично, подмножество или множества всех идеалов соответственно называется изолированным, если ни один из идеалов не является делителем какого-либо не принадлежащего подмножеству.

При заданном идеале каждому мультипликативно замкнутому множеству соответствует некоторое

изолированное подмножество состоящее из тех которые не содержат ни одного элемента из Это подмножество изолировано потому, что если идеал этого подмножества, являющийся делителем идеала то и принадлежит подмножеству. Пересечение примарных идеалов, ассоциированных с является в этом случае изолированной компонентой

Важным частным случаем является тот, когда выбирается один изолированный идеал а в качестве берется множество элементов кольца с, не делящихся на Это множество непусто, за исключением тривиального случая Любой другой идеал содержит элемент, не делящийся на элемент из Тем самым из (2) следует, что

Следовательно, идеал однозначно определяется идеалом и множеством т. е. идеалом и идеалами Изолированные идеалы также определяются идеалом однозначно. В итоге имеем:

Изолированные примарные компоненты в (1) определены однозначно.

(см. скан)

Символические степени. В § 117 мы видели, что степени простого идеала не обязаны являться примарными идеалами. Представим в виде пересечения примарных компонент:

тогда все ассоциированные простые идеалы будут делителями идеала а потому и идеала Произведение таково, что некоторая его степень делится на все а потому на следовательно, на Отсюда вытекает, что один из сомножителей, скажем должен делиться на С другой стороны, делитель идеала так что

Остальные идеалы являются собственными делителями идеала Отсюда следует, что является изолированной примарной компонентой идеала и в этом качестве определяется однозначно. Точнее, идеал является изолированной компонентой идеала определенной множеством где - множество элементов кольца с, не делящихся на

Однозначно определенная таким способом примарная компонента идеала ассоциированная с простым идеалом называется, по предположению Крулля, символической степенью идеала и обозначается