§ 96. Малый и большой радикалы

Идеал а (левый или правый) называется нильпотентным, если некоторая его степень является нулевым идеалом. Имеет место

Лемма 1. Сумма двух нильпотентных левых идеалов нильпотентна.

Доказательство. Пусть Если вычислить идеал то получится сумма произведений из множителей, которыми являются а или . В любом таком произведении либо множитель а встречается по крайней мере раз, либо множитель встречается раз. В первом случае произведение имеет вид

где встречается не менее, чем раз. Так как из сказанного следует, что

Второй случай рассматривается аналогично. Тем самым произведения равны нулю и

Лемма 2. Каждый нильпотентный левый (или правый) идеал содержится в двустороннем нильпотентном идеале.

Доказательство. Пусть нильпотентный левый идеал: Тогда нильпотентен и идеал

Порожденный идеалом правый идеал в соответствии с этим является суммой двух нильпотентных левых идеалов, а потому и сам он будет нильпотентным левым идеалом; следовательно, этот идеал является двусторонним и нильпотентным.

Под малым радикалом кольца о мы подразумеваем объединение всех нильпотентных двусторонних идеалов. Согласно лемме 2 в этом объединенном множестве лежат все левые и все правые нильпотентные идеалы. Поэтому малый радикал можно определить и как объединение всех нильпотентных левых (или правых) идеалов. Можно также сказать: элемент а лежит в если а порождает нильпотентный левый (или правый) идеал.

Если кольцо с является алгеброй, или, более общо, кольцом с условием минимальности для левых идеалов, то малый радикал совпадает с определяемым ниже большим радикалом . В этом случае мы можем отказаться от прилагательного «малый» и просто называть радикалом алгебры .

Алгебра без радикала, т. е. алгебра, радикал которой есть нулевой идеал, называется полупростой. Строение полупростых алгебр было выяснено Дж. Г. Маклеген-Веддерберном. Его основные теоремы гласят:

Каждая полупростая алгебра является прямой суммой простых алгебр с единицей, а каждая такая простая алгебра изоморфна полному матричному кольцу над некоторым телом.

Артин (Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 5, S. 245) перенес теоремы Веддерберна на случай произвольных колец с условием минимальности для левых идеалов. Без этого условия не удается получить простые структурные теоремы. Препятствие, как еще в ту пору подозревали, состоит в том, что радикал оказывается слишком маленьким. Ряд авторов, в том числе и Левицкий, ввели большие радикалы. Но только Джекобсону с помощью подходящего определения радикала удалось получить структурные теоремы для колец без радикала. Для детального ознакомления со всей теорией Джекобсона можно порекомендовать его книгу «Строение колец». Здесь же мы ограничимся несколькими главными теоремами.

В своей книге Джекобсон определяет радикал кольца с» как множество тех элементов а, которые в любом неприводимом представлении представляются нулем. Он доказал, что радикал можно получить и как пересечение специальных максимальных правых идеалов, которые были им названы модулярными. Вместо правых идеалов можно взять и левые идеалы — это не имеет значения. Мы воспользуемся здесь модулярными максимальными левыми идеалами для определения идеала

Левый идеал называется модулярным, если существует элемент кольца со свойством

Элемент с играет, в некотором смысле, роль правой единицы по модулю 2. Слово «модулярный» происходит от слова «модуль» — старого названия единичного элемента.

Мы определим теперь большой радикал или просто радикал кольца о как пересечение всех модулярных максимальных левых идеалов Если, кроме самого кольца о, в с нет модулярных максимальных левых идеалов, то радикалом является всё кольцо, которое в этом случае называется радикальным.

Пусть модулярный максимальный (левый) идеал. Модуль классов вычетов в этом случае является простым и допускает некоторое неприводимое представление. Ядро этого представления является двусторонним идеалом

или совокупностью всех тех а, для которых

Свойство (3) равносильно свойству

В частности, из (3) следует, что таким образом, в силу Это имеет место для всех а из поэтому

Каждому идеалу принадлежит идеал . В силу (5) пересечение всех идеалов принадлежит пересечению всех а потому содержится в радикале. Докажем теперь, что и, наоборот, радикал лежит во всех идеалах а потому и в их пересечении.

Пусть а — произвольный элемент кольца Мы должны доказать, что включение (4) справедливо при любых е. что элемент а принадлежит всем левым идеалам вида

Но элемент а лежит во всех максимальных модулярных левых идеалах кольца Поэтому достаточно показать, что 8 либо равно , либо является модулярным и максимальным идеалом в .

При фиксированных каждому элементу х кольца соответствует некоторое произведение следовательно, вполне определенный класс вычетов по модулю Это отображение является гомоморфизмом модулей. Его ядро равно в точности так что фактормодуль изоморфно погружается в фактормодуль Модуль минимальный, а потому возможны только два случая: либо изоморфно отображается на нуль и, следовательно, само равно нулю, либо изоморфно отображается на . В первом случае а во втором идеал , как и идеал , модулярен и максимален в .

Сформулируем все доказанное в одном предложении:

Теорема 1. Радикал равен пересечению двусторонних идеалов а потому и сам является двусторонним идеалом.

Построим теперь факторкольцо Каждому модулярному максимальному левому идеалу кольца с соответствует некоторый модулярный максимальный левый идеал кольца о, и наоборот. Поэтому имеет место

Теорема 2. Кольцо классов вычетов является кольцом «без радикала», т. е. радикал кольца равен нулевому идеалу.

Кольца без радикала, называются полупростыми. Поэтому теорему 2 можно сформулировать так:

Кольцо классов вычетов кольца о по его радикалу полупросто.

(см. скан)

Позднее нам понадобится следующая теорема:

Теорема 3. Каждый модулярный левый идеал принадлежит некоторому максимальному левому идеалу (который, конечно, тоже модулярен).

Доказательство. Пусть с — элемент кольца со свойством

Левый идеал I не содержит элемента с. Рассмотрим множество всех левых идеалов 1, содержащих I, но не содержащих с. Среди них найдем максимальный идеал 8. Такой идеал существует в силу леммы Цорна (§ 69). Идеал 8 модулярен, так как содержит Но он и максимален и не равен . Действительно, если — идеал, собственным образом содержащий , то содержит и элемент , а потому в силу (6) — каждый элемент кольца

Чтобы выяснить связь между малым и большим радикалами, введем в качестве вспомогательного средства новую конструкцию произведения.