§ 144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля

Пусть поле К полно относительно показательного нормирования т. е. в нем имеет место критерий сходимости Коши. Выясним, как можно продолжить это показательное нормирование на алгебраическое расширение

Напомним, что элементы а, для которых называются целыми и составляют некоторое кольцо, а элементы а, для которых составляют в этом кольце некоторый простой идеал

Основой в нашем исследовании будет критерий редукции в совершенных полях, восходящий к Гензелю.

Если коэффициент с наименьшим показателем в многочлене

над некоторым показательно нормированным полем, то

— многочлен с целыми коэффициентами, среди которых не все делятся на Многочлен с таким свойством будет называться примитивным.

Лемма Гензеля. Пусть К — поле, полное относительно показательного нормирования Пусть примитивный многочлен с целыми коэффициентами из К. Если два многочлена с целыми коэффициентами из К, взаимно простые по модулю для которых

то существуют два многочлена с целыми коэффициентами из К, для которых

При этом многочлены можно выбрать так, чтобы степень многочлена была равна степени многочлена рассматриваемого по модулю

Доказательство. Так как в многочленах можно опустить коэффициенты, принадлежащие идеалу у, и при этом не изменятся ни условия, ни заключение леммы, то мы будем предполагать, что старшие коэффициенты не делятся на у и многочлен имеет степень Более того, мы будем считать, что умножен на заменен на таким образом, что приведенный многочлен степени т. е. его старший коэффициент равен 1; мы будем считать, что Если в этой ситуации старший коэффициент и степень многочлена то старший коэффициент произведения равен а степень Мы построим сомножители так, чтобы был приведенным многочленом степени многочленом степени

Коэффициенты с многочлена имеют по условию положительные значения ; пусть наименьшее из послед них — некоторое число Если то и больше нечего доказывать.

Так как взаимно просты по модулю у, то существуют два многочлена с целыми коэффициентами из К, для которых

Наименьшее из значений нормы на коэффициентах многочлена

— некоторое положительное число Пусть наименьшее из чисел и, наконец, — элемент, для которого Тогда

Построим теперь как предельное значение некоторой последовательности многочленов степени начинающейся с — как предельное значение некоторой последовательности многочленов степени начинающейся с Предположим, что уже определены и притом так, что

и, кроме того, многочлен со старшим коэффициентом 1. Для того чтобы определить представим

их в виде

Тогда

Положим в соответствии с (3)

тогда

При этом левая часть будет делиться на если будет

Чтобы добиться этого, умножим сравнение (2) на

разделим на так что остаток и будет иметь степень

Подставим (10) в (9):

Заменим в многочлене, заключенном в фигурные скобки, все коэффициенты, делящиеся на , нулем; тогда получим

В силу (4) и (5) из (11) следует нужное сравнение (8). Далее и имеет степень так что в силу (6) имеет ту же степень и тот же старший коэффициент, что и Остается лишь показать, что имеет степень Если бы это было не так, то в первом слагаемом в (11) старший член имел бы степень а степени остальных были бы другими. Коэффициент при этом члене должен в соответствии с (11) делиться на , а потому старший коэффициент в оказывается кратным элементу я. Но так как мы удалили из все коэффициенты, делящиеся на , то степень оказывается Из сравнения (8) следует, как мы видели выше, что

Из (6) следует, что коэффициенты многочлена делятся на а потому при стремятся к нулю. Отсюда

в силу критерия сходимости Коши следует, что при сходятся к многочлену

Равным образом при и последовательность сходится к некоторому многочлену Наконец, переходя в (3) к пределу, получим

В силу (4) и (5) выполняются и сравнения

Лемма доказана.

Вот одно простое следствие:

Для неразложимого над К многочлена

имеет место соотношение

Для доказательства мы можем предположить, что примитивный многочлен. В этом случае минимум слева равен нулю. Предположим, что больше нуля; тогда существовало бы натуральное число для которого но при Но тогда

и, следовательно, многочлен в силу леммы Гензеля разложим на два множителя, степень одного из которых а другого

(см. скан)

Важнейшее применение последней теоремы состоит в доказательстве возможности продолжения нормирования с полного поля на алгебраическое расширение.

Пусть К — поле, полное относительно показательного нормирования алгебраическое расширение поля К. Тогда существует показательное нормирование на которое совпадает с на .

Доказательство. 1. Пусть произвольный элемент из и

— неразложимое уравнение для с коэффициентами из К. Мы утверждаем, что

— нормирование поля (которое, очевидно, на К совпадает с Для того чтобы доказать для произвольных двух элементов из соотношения

рассмотрим подполе имеющее некоторую конечную степень над К, и построим в этом поле норму элемента Согласно § 47 имеем

и, следовательно,

Так как то отсюда получаем

При доказательстве соотношения в силу того, что

и

мы можем ограничиться случаем

Неразложимое уравнение для таково:

В силу предыдущей теоремы имеем

Если от показательных нормирований перейти к обычным

то нормирование расширения будет определяться равенством

или равенством

если имеет конечную степень над .

Заметим, что та же формула верна и в случае архимедова нормирования. Единственный нетривиальный случай имеет место тогда, когда К — поле вещественных чисел, поле комплексных чисел. Нормирование

поля К можно продолжить без каких бы то ни было дополнительных построений до

Однако для имеет место равенство

так что

По этой причине в дальнейшем мы снова рассматриваем архимедовы и неархимедовы нормирования вместе.

Пусть А — расширение конечной степени поля базис векторного пространства Пусть К полно относительно нормирования Если некоторое нормирование поля А., совпадающее на то последовательность

является фундаментальной последовательностью относительно тогда и только тогда, когда последовательностей фундаментальны относительно

Так как последовательности стремятся соответственно к пределам из К, то из сказанного следует, что А — полное относительно поле.

Доказательство. Сходимость последовательностей мы докажем индукцией. Если имеют вид

то, очевидно, последовательность фундаментальна, если только фундаментальна Пусть утверждение верно для всех

последовательностей вида

Рассмотрим

Если последовательность сходится, то фундаментальная последовательность; тогда последовательности сходятся по предположению индукции. Допустим, что последовательность не сходится. Тогда можно выбрать числовую последовательность так, что выполняется для всех где некоторое фиксированное положительное число. Последовательность

должна в этом случае сходиться к нулю, потому что последовательности числителей сходятся к нулю ввиду фундаментальности последовательности . Имеем

По предположению индукции, последовательности сходятся к некоторым пределам значит,

Но это противоречит тому, что базис поля А над полем К.

Точно также доказывается следующее утверждение: последовательность является нуль-последовательностью тогда и только тогда, когда таковыми являются последовательности

На этом замечании основывается доказательство следующей теоремы единственности:

Продолжение нормирования полного поля К на алгебраическое расширение А определено однозначно и

где норма в поле степень этого поля над К.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай фиксированного элемента и соответствующего поля под нормами будут подразумеваться лишь нормы в этом поле. Если некоторая последовательность в этом поле стремится к нулю (в смысле и если линейно выражаются через базисные элементы поля то, в соответствии со сказанным выше, к нулю стремятся отдельные коэффициенты а потому и норма, являющаяся однородным многочленом от этих коэффициентов. Предположим, что или Тогда элемент

в обоих случаях имеет норму Следовательно, а потому и что противоречит равенствам

(см. скан)