Главная > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения

Пусть снова А — поле.

Выясним, может ли неразложимый в многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы обладал кратными корнями, многочлены должны иметь общий отличный от константы множитель, который согласно § 41 можно вычислить уже в Если многочлен неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство

Положим

Так как в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

В случае характеристики нуль отсюда следует, что для всех Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики равенства возможны и для но тогда обязаны выполняться сравнения

Таким образом, чтобы многочлен обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех для которых должен иметь вид

Обратно: если имеет такой вид, то В этом случае мы можем записать:

Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в многочлен имеет только простые корни; в случае же характеристики многочлен (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен от

В последнем случае может оказаться, что в свою очередь является многочленом от Тогда является многочленом от Пусть многочлен от

но не является многочленом от Разумеется, многочлен неразложим. Далее, потому что иначе имел бы вид следовательно, представлялся бы в виде что противоречит предположению. Следовательно, имеет только простые корни.

Разложим многочлен в некотором расширении основного поля на линейные множители:

Тогда

Пусть какой-нибудь корень многочлена Тогда

Следовательно, является -кратным корнем многочлена и

Все корни многочлена имеют, таким образом, одну и ту кратность

Степень многочлена называется редуцированной степенью многочлена корня число называется показателем многочлена корня над полем Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение

где равно числу различных корней многочлена

Если корень неразложимого в кольце многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то называется сепарабельным элементом над или элементом первого рода над При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент и неразложимый многочлен называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение 2, все элементы которого сепарабельны над называется сепарабельным над а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраическое расширение) является сепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных и интересных расширений полей сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые «совершенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом.

Рассмотрим теперь алгебраическое расширение Когда степень уравнения определяющего это расширение, равна степени редуцированная степень оказывается равной числу изоморфизмов поля 2 в следующем смысле: рассмотрим лишь такие изоморфизмы 22, при которых элементы подполя остаются неподвижными и, следовательно, 2 переводится в эквивалентное поле 2 (изоморфизмы поля 2 над полем и при которых поле-образ 2 лежит вместе с полем 2 внутри некоторого общего для них поля В этих условиях имеет место теорема:

При подходящем выборе поля расширение имеет ровно изоморфизмов над и при любом выборе поля поле 2 не может иметь более таких изоморфизмов.

Доказательство. Каждый изоморфизм над должен переводить элемент в сопряженный с ним элемент из Выберем так, чтобы разлагался над на линейные множители;

тогда окажется, что элемент имеет ровно сопряженных элементов При этом, как бы ни выбиралось поле , элемент не будет иметь в нем более сопряженных. Заметим теперь, что каждый изоморфизм над А полностью определяется заданием соответствия Действительно, если переходит в и все элементы из А остаются на месте, то элемент

должен переходить в

а этим определяется изоморфизм.

В частности, если — сепарабельный элемент, тот следовательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.

Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни каждого уравнения (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого во всех предложениях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле .

(см. скан)

Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение: Если расширение получается из последовательным присоединением алгебраических элементов причем каждое из а; является корнем неразложимого над уравнения редуцированной степени , то расширение имеет ровно изоморфизмов над А и ни в одном расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля .

Доказательство. Для теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения в некотором подходящем расширении есть ровно изоморфизмов поля над Пусть один из этих изоморфизмов. Утверждается, что в подходящим образом выбранном поле он может быть продолжен до изоморфизма не более чем способами.

Элемент удовлетворяет некоторому уравнению над различными корнями. С помощью изоморфизма многочлен переводится в некоторый многочлен Но тогда в подходящем расширении

имеет опять-таки различных корней и не больше. Пусть один из этих корней. В силу выбора элемента изоморфизм продолжается до изоморфизма одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой

Так как выбор элемента может быть осуществлен способами, существует продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран способами, то всего существует (в том поле , в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)

изоморфизмов расширения 2 над полем что и требовалось доказать.

Если полная (нередуцированная) степень элемента над равно степени расширения поля ; следовательно, степень равна сравнить это число с числом изоморфизмов то получится следующее предложение:

Число изоморфизмов расширения над (в некотором подходящем расширении ) равно степени тогда и только тогда, когда каждый элемент сепарабелен над полем Если же хотя бы один элемент несепарабелен над соответствующим полем, то число изоморфизмов меньше степени расширения.

Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента быть селарабельным предыдущим полем есть свойство самого расширения 2 независимо от выбора порождающих элементов Так как произвольный элемент поля может быть взят в качестве первого порождающего, элемент оказывается сепарабельным, если все являются таковыми. Итак:

Если к полю последовательно присоединяются элементы и каждый элемент оказывается сепарабельным над полем, полученным присоединением предыдущих элементов то расширение

сепарабельно над

В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабельных элементов сепарабельны.

Далее, если сепарабелен над 2, а поле 2 сепарабельно над то элемент сепарабелен над Это объясняется тем, что удовлетворяет некоторому уравнению с конечным числом коэффициентов из 2 и, следовательно, сепарабелен над Тем самым сепарабельно и расширение

Наконец, имеет место следующее предложение: число изоморфизмов конечного сепарабельного расширения 2 над полем А равно степени расширения

Так как в соответствии со сказанным выше рациональные операции над сепарабельными элементами вновь приводят к сепарабельным элементам (внутри некоторого расширения поля ), то все сепарабельные над А элементы из составляют некоторое поле Это поле можно описать и как наибольшее сепарабельное расширение поля А внутри .

Если алгебраично над А, но не обязательно сепарабельно, то степень каждого элемента а из лежит в где показатель рассматриваемого элемента. Действительно, из рассмотрений начала этого параграфа немедленно следует, что удовлетворяет уравнению с попарно различными корнями. Итак,

Расширение получается из расширения извлечением корней степени из его элементов.

Если, в частности, конечно над А, то показатели обязательно ограничены. Наибольший среди них, который мы обозначим вновь через называется показателем расширения Я. Степень расширения над А называется редуцированной степенью над

Само собой разумеется, что корни степени можно получить последовательным извлечением корней степени. При извлечении корня степени из какого-то элемента, не имевшего в исходном поле этого корня (т. е. при присоединении корня неразложимого уравнения степень расширения умножается на Следовательно, в конце концов после -кратного повторения операции извлечения корня степени мы получим

или

как в простых сепарабельных расширениях.

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru