§ 28. Корни

Пусть с — целостное кольцо с единицей.

Элемент из называется корнем многочлена из если Имеет место следующая теорема:

Если а — корень многочлена то делится на а.

Доказательство. Деление на дает равенство

где — некоторая константа. Подставим в это равенство

откуда

Если различные корни многочлена то делится на произведение .

Доказательство. Для теорема уже доказана. Если считать ее доказанной для то будет иметь место равенство:

Подстановка дает

следовательно, так как в о нет делителей нуля и имеем откуда в силу предыдущей теоремы

а это и требовалось доказать.

Следствие. Отличный от нуля многочлен степени имеет в целостном кольце не более корней.

Эта теорема верна также и в целостных кольцах без единицы, потому что такие кольца могут быть погружены в поле. Однако эта теорема неверна в кольцах с делителями нуля; например, в кольце классов вычетов по модулю 16 многочлен имеет в качестве корней классы, представляемые числами 0, 4, 8, 12; существуют даже кольца, в которых многочлен такого же вида имеет бесконечно много корней (§ 11, задача 3).

Если делится на но не делится на то элемент а называют -кратным корнем многочлена Имеет место теорема:

-крагпный корень многочлена является не менее, чем -кратным корнем производной

Доказательство. Из следует, что

откуда делится на

Точно так же доказывается утверждение: простой (т. е. -кратный) корень многочлена не является корнем производной

Перейдем теперь к некоторым теоремам о корнях многочленов от многих переменных.

Если ненулевой многочлен, а каждая из переменных может принимать бесконечное множество значений из кольца о или любого целостного кольца, содержащего о,

то существует по крайней мере один набор значений для которого

Доказательство. Многочлен как многочлен от (с коэффициентами из целостного кольца имеет не более конечного числа корней; следовательно, в бесконечном множестве значений, которое можно подставлять вместо элемента существует такой элемент что

Рассмотрим это выражение как многочлен от тогда существует значение для которого

Следствие. Если для всех значений переменных из некоторого бесконечного целостного кольца многочлен принимает значение нуль, то он сам является нулевым.

Здесь следует напомнить о том, что в алгебре обращение в нуль многочлена от означает равенство нулю всех его коэффициентов и не определяется через равенство нулю всех его значений на всевозможных конкретных наборах значений переменных Поэтому последняя из сформулированных теорем не является тавтологией.

(см. скан)