§ 137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов

Пусть — произвольное целостное кольцо (коммутативное кольцо без делителей нуля), в котором выполнены следующие три аксиомы:

I. Теорема о цепях делителей для идеалов.

II. Все отличные от нуля простые идеалы не имеют делителей.

III. Кольцо о целозамкнуто в своем поле частных 2.

Примерами таких колец могут служить: 1) кольца главных идеалов; 2) главные порядки, которые получаются при конечных расширениях поля частных по схеме из § 136 из колец главных идеалов (в частности, главные порядки в числовых полях и полях функций от одной переменной).

Элементы поля 2, являющиеся целыми над о, а потому, согласно III, принадлежащие кольцу о, будут называться просто целыми. В частности, единичный элемент из 2 является целым, так что о — целостное кольцо с единицей.

Наряду с идеалами из о (или -модулями внутри о) мы будем рассматривать и -модули внутри 2, т. е. подмножества поля , которые вместе с содержат также а вместе с а — элементы где — любое целое число. Если такой -модуль а обладает конечным базисом, то называют дробным идеалом. Если -модуль состоит только из целых элементов то он является идеалом в обычном смысле или, как мы будем теперь говорить, целым идеалом.

Под суммой или наибольшим общим делителем двух -модулей мы подразумеваем (как и в случае идеалов) модуль всевозможных сумм где равным образом под произведением подразумевается модуль, порожденный всевозможными произведениями или совокупностью всех сумм

Суммы и произведения -модулей с конечными базисами снова являются -модулями с конечными базисами.

В последующих теоремах мы обозначаем готическими буквами лишь ненулевые целые идеалы в кольце о, а буквой с индексами или без — постоянно обозначается какой-нибудь ненулевой простой идеал.

Лемма 1. Для каждого идеала существует произведение простых идеалов делящих кратное идеалу а:

Доказательство. Если идеал а простой, то лемма верна. Если же не является простым, то существует произведение двух главных идеалов такое, что

Идеалы являются собственными делителями идеала а и

Если считать данную лемму выполненной для идеалов то существуют некоторое произведение и некоторое произведение В этом случае произведение делится на а потому и на а, и лемма оказывается выполненной для а. Но если бы лемма была неверна для идеала а, то она была бы неверна и для одного из делителей или с; этот делитель в свою очередь обладал бы делителем (собственным), для которого данная лемма не выполнена, и т. д. Таким способом мы получили бы бесконечную цепь собственных делителей, что, согласно аксиоме I, невозможно. Следовательно, лемма верна для каждого идеала а.

Лемма 2. Если идеал простой, то из следует, что или

Доказательство. Если то существуют такой элемент а из а и такой элемент из что оба они не принадлежат Но их произведение находясь в должно было бы принадлежать а это противоречит тому, что идеал прост.

Символом мы будем обозначать совокупность (целых или дробных) элементов а, для которых — целый идеал. Очевидно, некоторый -модуль.

Лемма 3. Если то в существует нецелый элемент.

Доказательство. Пусть с — произвольный отличный от нуля элемент из Согласно лемме 1 существует произведение простых идеалов со свойством:

Мы можем предположить, что это произведение несократимо, т. е. его нельзя заменить никаким частичным произведением типа Так как произведение делится на то один из его сомножителей, скажем, должен делиться на а потому совпадает с

Тем самым

Следовательно, существует не принадлежащий идеалу (с) элемент из произведения Для него справедливы соотношения

Следовательно, идеал целый, а потому принадлежит идеалу Но так как то элемент не является целым, что и требовалось доказать.

Теорема 1. Если то

Доказательство. Согласно определению идеала имеет место включение так что Следовательно, целый идеал является делителем идеала а потому он равен либо либо о. Предположим, что

Тогда Следовательно, если произвольный элемент из и — произвольный элемепт из то элемент является целым, в силу чего все степени элемента представляются как дроби с одним и тем же фиксированным знаменателем а. Поэтому элемент целый. Это оказывается выполненным для произвольного элемента из что противоречит лемме 3.

Теперь мы можем доказать основную теорему о разложении:

Теорема 2. Каждый идеал а является произведением простых идеалов.

Доказательство. Можно считать, что Пусть в соответствии с леммой 1

и число выбрано наименьшим; тогда ни одно из укороченных произведений не сравнимо с нулем по модулю а. Пусть далее произвольный отличный от о простой идеал, являющийся делителем идеала а (таковой обязательно существует согласно лемме 1). Но тогда произведение делится на следовательно (в силу леммы 2), одно из делится на а потому совпадает с поскольку идеалы не имеют делителей. Мы можем считать, что Умножим (1) на тогда получится

следовательно, целый идеал, который включается в произведение менее чем простых идеалов. Проведем теперь индукцию по Предположим, что для идеалов, которые включаются в произведение менее чем простых идеалов, отличных от нуля, теорема уже доказана (для идеалов, включающихся лишь в один простой идеал, отличный от нуля, теорема очевидна). Тогда, в частности, теорема верна для т. е.

Умножение с обеих сторон на дает нужное представление для а.

Единственность такого представления гарантирует

Теорема 3. Если то каждый отличный от о простой идеал, входящий в разложение идеала

входит и в разложение идеала а и по крайней мере столько же раз.

Доказательство. Пусть Так как делитель идеала а, то, как и выше, мы приходим к выводу о том, что — это один из идеалов Пусть, например, Тогда

Предположим, что наше утверждение уже доказано для меньших значений утверждение тривиально); тогда каждый отличный от о идеал из списка входит в список по крайней мере столько же раз. Отсюда следует требуемое.

Следствие 1. Представление идеала а в виде произведения простых идеалов единственно с точностью до порядка следования сомножителей и с точностью до числа сомножителей, равных о.

Следствие 2. Из делимости следует представление в виде произведения: если то при некотором целом идеале с.

Действительно, в качестве нужно взять произведение простых сомножителей, входящих в разложение идеала а, которые остаются свободными после составления произведения, равного

(см. скан)