§ 21. Двойственное векторное пространство

Пусть — некоторое -мерное векторное пространство над телом К. Линейной формой на называется определенная на функция со значениями в теле К, являющаяся линейной в следующем смысле:

Если векторы х выразить через базисных векторов

то из (1) и (2) получится равенство

где Таким образом, линейная форма это просто однородная линейная функция координат с коэффициентами их, из Коэффициенты можно выбирать из К произвольно: с помощью равенства (3) по ним всегда можно определить некоторую линейную форму со свойствами (1) и (2).

Сумма двух линейных форм является, очевидно, линейной формой. Точно так же любую линейную форму можно умножать слева на произвольный скаляр а и получить при этом вновь линейную форму

Рассмотрим теперь линейные формы как новые объекты, которые будем называть ковекторами и обозначать буквами Вместо мы будем писать называть это выражение скалярным произведением ковектора и на вектор х. Правила оперирования со скалярным произведением таковы:

Ковекторы можно умножать слева на элементы основного тела следовательно, они составляют некоторое левое векторное пространство. Оно называется пространством 2), двойственному векторному пространству Если задан базис пространства то в силу (3) каждому ковектору и соответствует некоторый набор из коэффициентов Обратно, каждому такому набору соответствует один-единственный ковектор и, который определяется равенством

Коэффициенты их, называются координатами ковектора . Два ковектора складываются, когда складываются их координаты Ковектор а умножается на а, когда умножаются на а слева все его координаты. Следовательно, двойственное пространство как левое векторное пространство, изоморфно левому модельному пространству наборов а это означает, что 1) и имеют одинаковые размерности. В случае коммутативного тела К пространство даже изоморфно пространству

Ковекторы

составляют согласно § 19 базис в 2). С помощью равенств

этот базис инвариантно связан с базисом пространства Базисы пространств и 2), связанные равенствами (5), называются двойственными (друг другу). Координаты произвольного ковектора и в базисе это в точности определенные раньше

Скалярное произведение (4) при фиксированном и определяет линейную форму от х, а при фиксированном линейную форму от а. Каждая линейная форма на может быть получена таким способом и поэтому пространство, двойственное пространству 2).