§ 45. Совершенные и несовершенные поля

Поле А называется совершенным, если любой неразложимый в многочлен сепарабелен. Все остальные поля называются несовершенными.

Условия, при которых поле является совершенным, описываются в следующих двух теоремах:

I. Поле характеристики нуль всегда совершенно.

Доказательство. См. § 44.

II. Поле характеристики является совершенным тогда и только тогда, когда оно вместе с каждым своим элементом содержит и корень степени из него.

Доказательство. Если вместе с каждым элементом поля имеется и корень степени из него, то каждый многочлен содержащий лишь степени элемента является степенью, так как

т. е. каждый неразложимый многочлен является в этом случае сепарабельным, а потому само поле — совершенным.

С другой стороны, если в поле есть элемента, корень степени из которого в поле не содержится, то рассмотрим многочлен

Пусть неразложимый делитель многочлена После присоединения элемента многочлен разлагается на равные линейные множители т. е. являясь делителем представляет собой некоторую степень двучлена Если бы был линейным, т. е. то элемент принадлежал бы полю А, что противоречит условию. Следовательно, при некоторый несепарабельный многочлен над А, а потому А — несовершенное поле. Впрочем, степень многочлена согласно § 44 обязательно делится на а потому в этом случае она просто равна т. е.

Из теоремы 11 и последней теоремы в § 43 заключаем:

Все поля Галуа совершенны.

Поле называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен из кольца разлагается на линейные множители. В каждом таком поле любой неразложимый многочлен линеен. Итак,

Все алгебраически замкнутые поля совершенны.

Из определения совершенного поля сразу получаются следующие две теоремы:

Каждое алгебраическое расширение совершенного поля сепарабельно над этим полем.

Для любого несовершенного поля существуют несепарабельные расширения.

Действительно, эти несепарабельные расширения получаются присоединением корня какого-нибудь неприводимого несепарабельного многочлена.

Сделанное при доказательстве теоремы II замечание о том, что в совершенном поле характеристики каждый многочлен зависящий лишь от является степенью, сохраняет силу и для случая многочлена от нескольких переменных являющегося в действительности многочленом от Это часто используемое свойство полей характеристики

Задача. Каждое алгебраическое расширение совершенного поля совершенно.