§ 132. Основная теорема Нетера

С помощью разложения на примарные идеалы мы решим здесь вопрос о том, каким условиям должен удовлетворять многочлен чтобы принадлежать нульмерному идеалу Предпошлем этому обсуждению одну лемму, которая полезна и в других случаях: Если 2 — расширение поля многочлены из то из

следует, что

Доказательство. Пусть

где — многочлены с коэффициентами из 2. Выразим эти коэффициенты через конечное множество линейно независимых элементов поля 2 с коэффициентами из К. Тогда каждое слагаемое в (1) приобретает следующий вид:

где — многочлены с коэффициентами из К. Из (1), таким образом, следует, что

Так как элементы линейно независимы, то слагаемые с слева и справа должны совпадать, откуда

что и требовалось доказать.

На основании этой леммы мы можем для ответа на вопрос о справедливости сравнения произвольно расширить основное поле К, например, присоединить к нему некоторые корни идеала Если рассматриваемое сравнение окажется выполненным в кольце то оно было выполнено и до расширения поля.

Нульмерное многообразие при подходящем расширении основного поля распадается на конечное число отдельных точек; следовательно, при желании всегда можно предполагать, что все рассматриваемые нульмерные простые идеалы обладают лишь одним корнем (а не системой сопряженных точек, как обычно).

Нульмерный простой идеал у не имеет делителей, потому что в этом случае кольцо классов вычетов согласно § 129, является полем. сюда следует, что каждый нульмерный примарный

идеал однократен, потому что примарный идеал, которому соответствует простой идеал, не обладающий делителями, является, согласно § 122, однократным. Далее, из теорем § 122 следует, что каждая нульмерная изолированная примарная компонента идеала представляется в виде

причем показатель является наименьшим среди чисел о со свойством

Выясним смысл соотношения (2) в случае, когда основное поле предварительно расширено так, что все рассматриваемые однократные идеалы обладают лишь одним корнем Равенство (2) утверждает, что для сравнения необходимым и достаточным является сравнение

Пусть идеал задается базисом Положим тогда Если считать, что все рассматриваемые многочлены расположены по возрастающим степеням элементов то состоит из всех тех многочленов, в которые входят только произведения элементов общей степени Соотношение (4) означает, таким образом, что совпадает с некоторой линейной комбинацией с точностью до слагаемых степени, большей или равной Поэтому если умножить на 1 и на все произведения элементов общих степеней а затем обозначить через многочлены, получающиеся после отбрасывания всех слагаемых степени то (4) будет означать, что является линейной комбинацией многочленов с коэффициентами из основного поля с точностью до слагаемых степени Такое положение вещей можно фактически проверить в каждом отдельном случае (при заданных ). В частности, оно имеет место тогда, когда существуют формальные степенные ряды для которых

Действительно, в этом случае можно для каждого значения а оборвать степенные ряды на слагаемых степени о и получить совпадение обеих частей по модулю Таким образом, признак (5) требует слишком много: достаточно, чтобы обе части в равенстве (5) совпали не полностью, а только до слагаемых степени

Точно так же можно установить выполнение или невыполнение соотношения (3) для каждого конкретного оно означает, что после отбрасывания произведений степени все одночлены степени представляются через многочлены Таким образом, при заданных для каждого корня а можно последовательно испытывать значения пока не будет найдено такое о, для которого выполнено (3): это значение о является показателем идеала

В случае нульмерного идеала все примарные компоненты нульмерны и изолированы; следовательно, описанный выше признак можно применить ко всем этим компонентам при Если он выполнен для всех корней, то Тем самым установлена следующая теорема:

Пусть для каждого корня некоторого нульмерного изолированного идеала показатель определен как наименьшее из натуральных чисел а, для которых выполняется (3) при если многочлен удовлетворяет условию (4) при всех у, то

Для случая где и многочлены от двух переменных, эта теорема была впервые доказана Максом Нётером: то была знаменитая «основная теорема Нётера», которая заложила основу «геометрического направления» в теории алгебраических функций. Впрочем, вместо более слабого соотношения (4) Нётер предполагал выполненным условие (5) о степенных рядах для всех корней. Предложенный здесь вариант, при котором требуется совпадение слагаемых лишь до степени по совокупности переменных восходит к Бертини, который, кроме того, предложил границу для возможных значений показателя Обобщение на -мерный случай принадлежит Ласкеру и Маколею. Условие достаточное для мы называем, следуя Маколею, нетеровым условием в точке а.

Чтобы объяснить способы применения теоремы Нётера, обратимся к одному частному случаю, когда нётеровы условия оказываются особенно простыми.

Каждый из многочленов определяет некоторое алгебраическое многообразие (гиперповерхность) в -мерном пространстве. Равным образом многочлен определяет гиперповерхность Если разлагается на неразложимые

множители то и многообразие распадается на неприводимые части каждую из которых мы должны считать столько раз, каков показатель степени соответствующего множителя в разложении многочлена

Если многочлен разложен в точке а по степеням и разложение начинается со слагаемых порядка

то говорят, что гиперповерхность имеет в а -кратную точку. Сумма членов порядка, приравненная нулю, сама по себе дает некоторую гиперповерхность состоящую из «прямых линий», проходящих через точку а; эту гиперповерхность называют касательным конусом к гиперповерхности в точке а.

Простейшим случаем теоремы Нётера является тот, когда среди гиперповерхностей определяющих нульмерный идеал существуют такие которые все имеют в а простую точку и касательные гиперплоскости к которым в а имеют общей только точку а:

линейные формы линейно независимы.

Если в этом случае обозначить простой идеал через то среди линейных комбинаций многочленов по модулю имеются сами переменные т. е.

и поэтому

Отсюда следует, что идеал имеет в точке а изолированную примарную компоненту показателя 1, т. е. Каждый многочлен, обращающийся в нуль в а, делится, таким образом, на

По поводу дальнейших частных случаев и применений теоремы Нётера можно адресовать читателя к моей книге «Einftih-rung in die algebraische Geometrie».